FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

18.3.2026

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on kuusi tehtävää, joista vastataan viiteen. B1-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on kolme tehtävää, joista vastataan kahteen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää koejärjestelmän taulukkokirjoja ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 6 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa viiteen tehtävään.

1. Puuttuvat luvut 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 1.1–1.6 niin, että väitteet ovat tosia. Puuttuvat luvut on merkitty neliösymbolilla (#).

1.1 3/4 -2/5 =#/60 2 p.

Puuttuva luku: 

1.2 Lukujen -5, 4, 13 ja # keskiarvo on 5.. 2 p.

Puuttuva luku: 

1.3 (2 x +3)^2 =4 x^2 +# x +9 2 p.

Puuttuva luku: 

1.4 Yhtälön 7 x +# =19 -2 x ratkaisu on x =2. 2 p.

Puuttuva luku: 

1.5

Luvut x =3 ja y toteuttavat yhtälöparin

{2 x +y =#, x -2 y =9}. 2 p.

Puuttuva luku: 

1.6 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 20 ja 21, joten hypotenuusan pituus on #. 2 p.

Puuttuva luku: 

2. Derivaattoja ja yhdistelyä 12 p.

Määritä funktioiden derivaatat ja tutki niiden ominaisuuksia. Valitse kullekin funktiolle kummastakin listasta paras vaihtoehto.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

2.1 f(x) =-6 x^2 +12 x +5 4 p.

2.1.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan nollakohdat ovat x =-2 ja x =2. Derivaatan kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 12). Derivaatan nollakohdat ovat x =-2/3 ja x =2/3. Derivaatan kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0). Derivaatan arvo kohdassa x =1 on 2. Ei mikään yllä olevista.
2.1.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -6. Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -1. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on kolmannen asteen polynomi. Ei mikään yllä olevista.

2.2 g(x) =-1/2 x^2 +4 x -6 4 p.

2.2.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan nollakohdat ovat x =-2 ja x =2. Derivaatan kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 12). Derivaatan nollakohdat ovat x =-2/3 ja x =2/3. Derivaatan kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0). Derivaatan arvo kohdassa x =1 on 2. Ei mikään yllä olevista.
2.2.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -6. Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -1. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on kolmannen asteen polynomi. Ei mikään yllä olevista.

2.3 h(x) =3 x^3 -4 x +3 4 p.

2.3.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan nollakohdat ovat x =-2 ja x =2. Derivaatan kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 12). Derivaatan nollakohdat ovat x =-2/3 ja x =2/3. Derivaatan kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0). Derivaatan arvo kohdassa x =1 on 2. Ei mikään yllä olevista.
2.3.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -6. Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -1. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on kolmannen asteen polynomi. Ei mikään yllä olevista.

3. Logaritmeja 12 p.

  1. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka eivät toteuta yhtälöä

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    (4 p.)

  2. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka toteuttavat yhtälön

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    Likiarvot eivät riitä yhtäsuuruuden perustelemiseen. (8 p.)
 

4. Descartesin menetelmä 12 p.

Aineisto

  1. Teksti: Descartesin menetelmä
Ratkaise yhtälö x^4 -5 x^2 +4 =0 ja osoita, että tekstissä 4.A kuvattu Descartesin menetelmä antaa sen positiivisten ratkaisujen lukumäärän oikein.
 

5. Paraabeli 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Paraabeli

Paraabeli on tasokäyrä, jonka jokainen piste on yhtä kaukana annetusta suorasta ja sen ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä. Näitä kutsutaan johtosuoraksi ja polttopisteeksi.

Kuvan 5.A paraabelin johtosuora on y =-x ja sen polttopiste on (2, 2). Osoita, että paraabelin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

x +y =a (x -y)^2 +b,

ja määritä siinä esiintyvät vakiot a ja b.

 

6. Eiffel-torni 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Eiffel-torni

Eiffel-tornin muotoa voidaan mallintaa xyz-koordinaatiston kappaleella, jonka rajaavat neljä pintaa

x =a e^(c (h -z)), y =a e^(c (h -z)), x =-a e^(c (h -z)), y =-a e^(c (h -z))

sekä tasot z =0 ja z =h. Mallissa a =4,255, c =0,00892, h =312 ja yksikkönä on metri. Tämä kappale on esitetty kuvassa 6.A. Laske kappaleen tilavuus integraalia käyttäen.

 

Voit käydä tarkastelemassa A-osan vastauksiasi nyt.
Palautettuasi A-osan et voi enää muokata A-osan vastauksia.

Tarkastelun jälkeen voit palata kokeeseen jatkamaan tehtäviin vastaamista.

•••

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöösi palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

7. Skotlannin lippu 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Skotlannin lippu

Jalkapallofanilla on Skotlannin lippu, jonka leveys on 50 cm ja korkeus 30 cm. Lipun sinisellä pohjalla on molempien lävistäjien ympärillä valkoinen alue. Se ulottuu vaakasuuntaan 5,8 cm lävistäjältä vasemmalle ja oikealle sekä pystysuuntaan 3,5 cm lävistäjältä ylös ja alas kuten kuvassa 7.A. Kuinka monta prosenttia valkoinen alue on lipun pinta-alasta?

 

8. Muinainen laina 12 p.

Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan noin 570 grammaa hopeaa ja se jakautuu 60 sekeliin.

Ei ole täysin selvää, miten teksti pitäisi tulkita. Se voidaan tulkita ainakin seuraavilla kahdella eri tavalla:

Tapa 1: Korko lasketaan vain täysistä minoista.

Tapa 2: Korko lasketaan myös osittaisista minoista.

Kuinka paljon 30 minan lainasta kertyy vuodessa korkoa näiden eri tulkintojen mukaan?

 

9. Korrelaatiokerroin 12 p.

Anna esimerkki kahden muuttujan aineistosta, jossa on vähintään kymmenen eri datapistettä ja jossa muuttujien välinen korrelaatiokerroin on r =1. Anna vastauksena kuvakaappaus aineistosta, aineiston graafinen esitys ja kuvakaappaukset, jotka osoittavat, että vaaditut ehdot toteutuvat.

Anna vastaavat esimerkit myös tapauksista r =-1 ja r =0.

 

10. Collatzin lukujono 12 p.

Collatzin jono on rekursiivinen lukujono, jonka jäsenet ovat positiivisia kokonaislukuja. Jonon seuraava jäsen a_(n +1) saadaan edellisestä jäsenestä a_n seuraavalla tavalla:

  • Jos a_n on parillinen, niin a_(n +1) =1/2 a_n.
  • Jos a_n on pariton ja suurempi kuin 1, niin a_(n +1) =3 a_n +1.
  • Jos a_n =1, niin jono päättyy.

Esimerkiksi luvusta a_1 =20 alkava Collatzin jono on 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Saksalainen Lothar Collatz esitti vuonna 1937 konjektuurin (eli väittämän, jota ei kyennyt todistamaan), jonka mukaan mistä tahansa alkuarvosta alkava Collatzin jono on äärellinen. Tähän päivään mennessä kukaan ei ole kyennyt todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi.

  1. Määritä Collatzin lukujono alkuarvolla a_1 =23. (3 p.)
  2. Selvitä ohjelmiston avulla, mikä alkuarvo välillä 2–100 johtaa pisimpään Collatzin jonoon. Voit kirjoittaa koodisi esimerkiksi Pythonilla tai taulukkolaskentaohjelmalla. Anna vastauksena koodisi, koodin selitys ja taulukko, jossa näkyvät ainakin ne alkuarvot, jotka tuottavat viisi pisintä jonoa, sekä näiden jonojen pituudet. (9 p.)
 

B2-osa

Vastaa kahteen tehtävään.

11. Integraalin palautuskaava 12 p.

Tarkastellaan epäoleellisia integraaleja

I_n =int_0^oo x^n e^-x dx,

kun n =0, 1, 2, 3,...

  1. Johda palautuskaava

    I_n =n I_(n -1),

    kun n >= 1.

    Vihje: Integroi kaava D(x^n e^-x) =n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x puolittain välillä 0 <= x <= R. (6 p.)

  2. Osoita epäoleellisen integraalin määritelmää käyttämällä, että

    I_0 =int_0^oo e^-x dx =1,

    ja päättele integraalin I_5 arvo palautuskaavan I_n =n I_(n -1) avulla. (6 p.)

 

12. Seitsensakarainen tähti 12 p.

George R. R. Martinin luomaan fantasiamaailmaan sijoittuvassa Game of Thrones -sarjassa esiintyy seitsensakarainen tähti (katso oheinen kuva), jonka muotoa mallinnetaan tässä tehtävässä. Tähden seitsemän kärkipistettä asettuvat ympyrän kehälle tasavälein. Tähden sakarat muodostuvat seitsemästä paraabelin kaaresta niin, että jokaista sakaraa rajaa kaksi paraabelia. Yksittäinen paraabeli leikkaa ympyrän kahdessa tähden kärkipisteessä, joiden väliin jää yksi tähden kärkipiste. Leikkauspisteessä ympyrän tangentti ja paraabelin tangentti ovat kohtisuorassa. Tähden keskellä on ympyrä, joka sivuaa paraabeleja.

Määritä tähden keskellä olevan ympyrän ja tähden kärkien kautta kulkevan ympyrän säteiden suhde.

 

13. Ääriarvokohdat 12 p.

Määritellään funktio f: [0, 1] -> RR kaavalla

f(x) =int_0^x sin(2 ~p z^2) dz.

Missä kohdissa funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa?

Voit tutkia tilannetta ohjelmistojen avulla, mutta vastaus täytyy perustella täsmällisesti. Perusteluiksi eivät riitä ohjelmistolla lasketut integraalien likiarvot eikä fMax- tai fMin-käskyjen käyttäminen.

 

Kokeen tehtävät loppuvat tähän.

Lähteet

  1. Lähde: Martha T. Roth (toim.). The University of Chicago. The Assyrian Dictionary of the Oriental Institute of the University of Chicago. The Assyrian Dictionary Volume 14, 1999, s. 43, alun perin Vorderasiatische Schriftdenkmäler VAS 4 112:7. Julkaistu: 1999. Käännös: YTL. Muokkaus: YTL.
  2. Lähde: Helen Sloan / HBO. The Most Iconic Pieces of Decor in Film and TV History. Hearst Magazine Media, Inc. House Beautiful. https://www.housebeautiful.com/design-inspiration/a35460311/iconic-decor-furnishings-film-tv-game-of-thrones-friends/. Julkaistu: 10.2.2021. Viitattu: 3.3.2025. Muokkaus: YTL. Kuvakaappaus.

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.