Aineisto: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

Tarkastellaan n-asteisia polynomiyhtälöitä, joilla on n reaalista ratkaisua.

Ranskalainen filosofi ja matemaatikko René Descartes (1596–1650) kehitti tällaisen yhtälön positiivisten ratkaisujen lukumäärälle säännön, joka perustuu polynomin nollasta poikkeavien kertoimien etumerkkien vaihteluun, kun polynomin termit on kirjoitettu astelukujen vähenevässä järjestyksessä.

Esimerkiksi yhtälöllä x^4 -2 x^3 -13 x^2 +38 x -24 =0 on neljä reaalista ratkaisua ja termien etumerkit ovat

+ - - + -.

Kun tarkastellaan peräkkäisiä merkkejä, niin etumerkki vaihtuu kolmessa kohdassa: 1. ja 2. termin välissä, 3. ja 4. termin välissä ja 4. ja 5. termin välissä. Descartesin säännön mukaan positiivisten ratkaisujen ja merkinvaihtojen lukumäärät ovat samat, eli tässä tapauksessa positiivisia ratkaisuja on kolme.

Esimerkkiyhtälön ratkaisut ovat x =1, x =2, x =3 ja x =-4.