FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä
26.9.2024
Koe koostuu 11 tehtävästä, joista vastataan yhdeksään. Tehtävät on jaettu kahteen osaan. A-osassa on kuusi tehtävää, joista vastataan viiteen. B-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan neljään. Tehtävät 1–9 arvostellaan pistein 0–12, ja tehtävät 10 ja 11 pistein 0–18. Kokeen maksimipistemäärä on 120 ja sen voi saavuttaa vain, jos vastaa tehtäviin 10 ja 11.
A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 6 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osan tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.
Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.
Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.
A-osa
Vastaa viiteen tehtävään.1. Arjen matematiikkaa 12 p.
1.1 Laske. 2 p.
Suklaapatukat maksavat yksittäin 2 euroa, mutta kolmen patukan pakkauksen saa 4 eurolla. Kymmenen suklaapatukkaa maksaa halvimmillaan euroa.1.2 Laske. 2 p.
Juna lähtee Oulusta kello 9.48 ja on perillä Helsingissä kello 15.25. Junamatkan kesto on 1 p. tuntia ja 1 p. minuuttia.1.3 Laske. 2 p.
Reseptin mukaan kuuteen annokseen pannacottaa tarvitaan 1\frac{1}{2} desilitraa maitoa. Yhdestä litrasta maitoa saa annosta.1.4 Laske. 3 p.
Harrin palkka on 4\,200 euroa kuukaudessa. Hänen palkastaan vähennetään 24 % ennakonpidätystä ja 9 % pakollisia eläke- ja työttömyysvakuutusmaksuja. Harrin nettopalkka euron tarkkuudella on euroa.1.5 Laske. 3 p.
Alma maksaa kuukaudessa 12 euron ennakkomaksun vedenkäytöstään. Kuuden kuukauden välein isännöitsijä lähettää todelliseen kulutukseen perustuvan tasauslaskun, jossa on huomioitu jo maksetut ennakkomaksut. Tammi–kesäkuussa Alman veden kulutus oli 17{,}012\ \textrm{m}^3, ja veden hinta on 4{,}63 euroa/m^3. Alman tammi–kesäkuun tasauslaskun loppusumma kokonaisiksi euroiksi pyöristettynä on euroa.2. Yhtälö ja kolmio 12 p.
Ratkaise yhtälö x^2+14=9x. (4 p.)
Suora y=-2x+6 rajaa positiivisten x- ja y-akseleiden kanssa suorakulmaisen kolmion. Määritä tämän kolmion pinta-ala ja hypotenuusan pituus. (8 p.)
3. Juomalaseja mainoksessa 12 p.
Aineisto
Mainostoimisto suunnittelee astianpesuaineen mainosvideon. Tuottajan ajatuksena on asettaa suuri määrä juomalaseja kolmion muotoiseen kuvioon kuvan 3.A mukaisesti. Ensimmäisellä rivillä on yksi lasi, toisella rivillä kaksi, kolmannella rivillä kolme ja niin edelleen siten, että seuraavalla rivillä on aina yksi lasi enemmän kuin edellisellä rivillä.
Kuinka monta juomalasia on kymmenellä ensimmäisellä lasirivillä yhteensä? (3 p.)
Määritä lauseke juomalasien kokonaismäärälle, kun lasirivejä on n kappaletta. (4 p.)
Kuinka monta lasiriviä on 3\,916 juomalasin muodostelmassa? (5 p.)
4. Kuulantyöntö 12 p.
Ryan Crouserin 18.2.2023 työntämän huipputuloksen perusteella on mallinnettu kuulantyönnön tulosta metreinä polynomifunktiolla
f(x)=-0{,}0126x^2+1{,}07x+0{,}630,
kun muuttuja 0\le x\le 60 on työnnön suuntakulma asteina (vaakatasosta mitattuna). Määritä derivaattaa käyttämällä suurimpaan työntötulokseen johtava työntökulma asteen sadasosan tarkkuudella ja sitä vastaava työntötulos yhden senttimetrin tarkkuudella.
5. Lainojen vertailu 12 p.
Naava ja Silmu ottavat kumpikin 9 000 euron lainan. Naavan laina on tasalyhennyslaina ja Silmun laina on annuiteettilaina. Kummankin lainan vuotuinen korkokanta on 5 % ja laina-aika 3 vuotta. He lyhentävät lainojaan kerran vuodessa. Kumman viimeinen maksuerä on suurempi?
6. Jakaumia, kuvaajia ja todennäköisyyksiä 12 p.
Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2–3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.
6.1 Yhdistä seuraaviin väitteisiin sopiva onnistumistodennäköisyyden jakauma kuvasta 6.A. Heitetään kerran kahta noppaa ja tavoitteena on saada 6 p.
kummankin nopan silmäluvuksi parillinen. 2 p.
silmälukujen tuloksi parillinen luku. 2 p.
silmälukujen summa, joka ei ole kolmella jaollinen. 2 p.
6.2 Korttipakassa on neljä maata, joista kussakin kortit numeroilla 2–10. Pakasta nostetaan kaksi korttia ilman takaisinpanoa. 6 p.
Mikä on todennäköisyys sille, että kummankin kortin numero on parillinen?3 p.
Mikä on todennäköisyys sille, että korttien numeroiden tulo on parillinen? 3 p.
Voit käydä tarkastelemassa A-osan vastauksiasi nyt.
Palautettuasi A-osan et voi enää muokata A-osan vastauksia.
Tarkastelun jälkeen voit palata kokeeseen jatkamaan tehtäviin vastaamista.
•••
Saat estetyt laskinohjelmat käyttöösi palautettuasi A-osan.
B-osa
Vastaa neljään tehtävään.7. Piparkakkurasiat 12 p.
Aineisto
Joulun piparkakut pakataan kolmeen erikokoiseen ympyräpohjaiseen peltirasiaan, jotka näkyvät kuvassa 7.A.
Suurimman rasian ympärysmitta on 78,5 cm ja korkeus on 10,0 cm.
Keskimmäisen rasian säde on 1,5 cm pienempi ja korkeus 1,0 cm pienempi kuin suurimman rasian.
Pienimmän rasian säde on 2,5 cm pienempi ja korkeus 1,0 cm pienempi kuin keskimmäisen rasian.
Laske rasioiden yhteistilavuus desilitran tarkkuudella.
8. Moottoritien kustannukset 12 p.
Helsingin Sanomat kirjoitti 20.6.1972:
Vuonna 2018 valmistuneessa tiehankkeessa Haminasta Vaalimaalle kulkevan 32 kilometrin pituisen moottoritieosuuden hinta oli 550 miljoonaa euroa. Tässä tehtävässä eri vuosien kustannuksia verrataan käyttämällä "Aku Ankka -indeksiä", joka perustuu seuraavaan tietoon: Aku Ankka -lehden irtonumero maksoi 0,80 markkaa vuonna 1972 ja 3,50 euroa vuonna 2018.
Mitkä olivat Helsinki–Lahti-moottoritien kustannukset vuoden 2018 rahassa?
Kuinka monta prosenttia kalliimpi Hamina–Vaalimaa-moottoritie oli kilometriä kohti kuin Helsinki–Lahti-moottoritie rahan arvon muutos huomioiden?
9. Perusteltu binomijakauma 12 p.
Noppaa heitetään kuusi kertaa. Todennäköisyys saada silmäluku 6 täsmälleen neljä kertaa on binomitodennäköisyyden kaavan mukaan
{6 \choose 4} \big(\tfrac16\big)^4 \big(\tfrac56\big)^2 = \frac{125}{15552} \approx 0{,}00804.
Selitä käytetty kaava ja kaikki siinä esiintyvät osat, eli perustele binomitodennäköisyyden kaava tässä tilanteessa.
10. Terminen talvi 18 p.
Aineisto
Valitse osatehtävissä 10.1–10.2 oikea vaihtoehto. Näitä vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1–2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.
Tarkastellaan Saanan havaintoaseman lämpötiloja taulukosta 10.B käyttäen tekstin 10.A käsitteitä. Teksti on Ilmatieteen laitoksen termisiä vuodenaikoja koskeva esitys kokonaisuudessaan. Tehtävän ratkaisua varten täytyy tekstistä hakea itse tarvittavat tiedot.
10.1 Valitse oikea vaihtoehto. 2 p.
Syyskuun korkein päivän keskilämpötila asteen tarkkuudella oli 1 p. celsiusastetta, ja se saavutettiin 1 p.
10.2 Valitse oikea vaihtoehto. 2 p.
Syyskuun keskilämpötila asteen tarkkuudella oli celsiusastetta.
10.3 Kirjoita osatehtävien 10.3.1 ja 10.3.2 vastaukset vastauskenttään. 14 p.
10.3.1 Piirrä pylväsdiagrammi päivittäisistä keskilämpötiloista. 4 p.
10.3.2 Määritä lämpösumman avulla, milloin terminen talvi alkoi Saanalla vuonna 2021. 10 p.
11. Suhteellinen vaalitapa 18 p.
Kuvitteellisessa Keski-Maan vaalipiirissä on neljä puoluetta: Hobittipuolue, Ihmispuolue, Haltiapuolue ja Kääpiöpuolue. Taulukossa 11.A on esitetty Keski-Maassa toimitetun vaalin äänestystulokset.
Vastaa seuraaviin kysymyksiin olettaen, että Keski-Maassa käytetään d'Hondtin suhteellista vaalitapaa, joka on kuvattu tekstissä 11.B.
Mikä oli vaalien äänestysprosentti, kun Keski-Maassa on 290 754 äänioikeutettua? (3 p.)
Laske kunkin ehdokkaan vertausluku. Ketkä tulevat valituiksi, kun vaalipiiristä valitaan viisi edustajaa? (5 p.)
Kuinka monta henkilökohtaista ääntä enemmän Pippinin olisi pitänyt saada, jotta hän olisi tullut valituksi ilman arvontaa? Oletetaan, että muiden äänimäärät eivät muutu. (5 p.)
Suhteellisen vaalitavan tavoite on, että edustajien paikat jakautuvat samassa suhteessa kuin puolueiden saamat äänet. Pohdi, kuinka hyvin tämä toteutui näissä vaaleissa. (5 p.)
Kokeen tehtävät loppuvat tähän.
Lähteet
- Lähde: Suomen suurin tie maksaa kolme markkaa milli. Helsingin sanomat. Julkaistu: 20.6.1972.