FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

26.9.2024

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on kuusi tehtävää, joista vastataan viiteen. B1-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on kolme tehtävää, joista vastataan kahteen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 6 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa viiteen tehtävään.

1. Peruslaskuja 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

1.1 Laske. 2 p.

Juna lähtee Oulusta kello 9.48 ja on perillä Helsingissä kello 15.25. Junamatkan kesto on 1 p. tuntia ja 1 p. minuuttia.

1.2 Laske. 2 p.

Harrin palkka on 4200 euroa kuukaudessa. Hänen palkastaan vähennetään 33 % ennakonpidätystä, joka sisältää pakolliset eläke- ja työttömyysvakuutusmaksut. Harrin nettopalkka euron tarkkuudella on euroa.

1.3 Laske. 2 p.

Alma maksaa kuukaudessa 12 euron ennakkomaksun vedenkäytöstään. Kuuden kuukauden välein isännöitsijä lähettää todelliseen kulutukseen perustuvan tasauslaskun, jossa on jo huomioitu maksetut ennakkomaksut. Tammi–kesäkuussa Alman veden kulutus oli 17,012 m^3, ja veden hinta on 4,63 euroa/m^3. Alman tammi–kesäkuun tasauslaskun loppusumma kokonaisiksi euroiksi pyöristettynä on euroa.

1.4 Laske. 2 p.

Kokeiden arvostelu kestää kolmelta opettajalta yhteensä 12 tuntia. Neljältä opettajalta samaan urakkaan menisi tuntia. Jokainen opettaja arvostelee kokeensa itsenäisesti ja samalla nopeudella.

1.5 Laske. 2 p.

Yhtälön |x -1| =3 negatiivinen ratkaisu on x = .

1.6 Laske. 2 p.

Vektoreiden vec a =3 vec i +4 vec j ja vec b =2 vec i +8 vec j pistetulo on vec a * vec b = .

2. Derivaattoja 12 p.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

2.1 Määritä luvun p’(1) tarkka arvo, kun p(x) =-2 x^5 +x^4 -2. 3 p.

p’(1) =   -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.2 Määritä derivaatta f’(x), kun f(x) =x e^x. 3 p.

f’(x) =   e^x x e^x x^2 e^x x^2 e^(x-1) (x +1) e^x 1 +e^x x +e^x ei mikään ylläolevista

2.3 Määritä luvun g’(-1) tarkka arvo, kun g(x) =ln (2 x +3). 3 p.

g’(-1) =   1 2 5 ln(1) ln(5) 2 ln(1) 2 ln(5) ei mikään ylläolevista

2.4 Määritä derivaatta h’(x), kun h(x) =sin x +cos (3 x). 3 p.

h’(x) =   cos(x) –sin(3 x) -cos(x) +sin(3 x) cos(x) -3 sin(3 x) -cos(x) +3 sin(3 x) cos(x) -1/3 sin(3 x) -cos(x) +1/3 sin(3 x) cos(x) -3 sin(x) -cos(x) +3 sin(x) ei mikään ylläolevista

3. Yhtälöt 12 p.

Ratkaise muuttujien x ja y tarkat arvot seuraavista yhtälöistä.

  1. Yhtälö 4 *8^x =sqrt(2). (4 p.)

  2. Yhtälö sin (6 y -~p /2) =1/2,, kun y in [0, ~p /2]. (8 p.)

 

4. Integraali 12 p.

Funktion f : [0, oo) -> [0, oo) arvo f(x) on luvun x kokonaislukuosa. Esimerkiksi f(1) =1, f(11/5) =2 ja f(~p) =3. Laske

int_0^10 f(x) dx.
 

5. Summan arviointi 12 p.

  1. Osoita, että (k -1) /(k 2^k +1) < 1 /2^k kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k. (4 p.)

  2. Osoita, että sum_(k =2)^n (k -1) /(k 2^k +1) < 1/2 kaikilla kokonaisluvuilla n >= 2. (8 p.)

 

6. Veteen putoava kivi 12 p.

Mallinnetaan veteen pudonneen kiven aiheuttamia aaltoja funktiolla f: RR^2 -> RR, missä f(x, y) =sin (sqrt(x^2 +y^2)) /sqrt(x^2 +y^2), kun (x, y) !=(0, 0), ja f(0, 0) =1.

  1. Etsi kaksi muuta pistettä, joissa funktion arvo on sama kuin pisteessä (3, 4). (6 p.)

  2. Osoita, että jokaiselta xy-tason suoralta löytyy funktion nollakohta. (6 p.)

 

Voit käydä tarkastelemassa A-osan vastauksiasi nyt.
Palautettuasi A-osan et voi enää muokata A-osan vastauksia.

Tarkastelun jälkeen voit palata kokeeseen jatkamaan tehtäviin vastaamista.

•••

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöösi palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

7. Geometrinen juoksuharjoittelu 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Juoksureitti

Matematiikan opettaja testasi älykelloaan juoksulenkillä. Tuloksena oli 5,85 kilometrin pituinen reitti, joka on esitetty kuvassa 7.A. Opettaja haluaa arvioida reitin sisälle jäävien kaupunginosien pinta-alaa. Hän mallintaa reittiä kolmiona, jonka sivujen pituuksien suhteet ovat 6 : 7 : 9 ja jonka piiri on 5,85 km.

  1. Määritä mallikolmion suurin kulma asteina neljän merkitsevän numeron tarkkuudella. (6 p.)

  2. Määritä mallikolmion pinta-ala hehtaareina. (6 p.)

 

8. Tikanheitto 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Tikkataulu

Ympyränmuotoisen tikkataulun keskellä on 10 pisteen arvoinen keskiympyrä, jonka säde on 2 cm. Sen ympärillä on 9 pisteen arvoinen rengas, jonka leveys on 2 cm. Tämän renkaan ympärillä on samanlevyinen 8 pisteen rengas, sen ympärillä samanlevyinen 7 pisteen rengas ja niin edelleen uloimpaan 1 pisteen renkaaseen saakka. Tikkataulussa on siis yhteensä 10 aluetta ja koko taulun säde on 20 cm, katso kuva 8.A.

  1. Osoita laskemalla, että parillisten pistemäärien alueiden yhteenlaskettu pinta-ala on 180 ~p cm^2. (4 p.)

  2. Katri heittää tikkaa siten, että hän varmasti osuu tauluun, mutta voi osua mihin tahansa taulun kohtaan samalla todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä Katrin tulos on parillinen, kun hän heittää kolme tikkaa ja niiden pisteet lasketaan yhteen? (8 p.)

 

9. Jaksollisuus 12 p.

Funktio f: RR -> RR on jaksollinen, jos on olemassa sellainen L > 0, että sen kuvaaja pysyy samana, kun sitä siirretään L yksikköä vaakasuorassa suunnassa. Tämä ominaisuus voidaan esittää myös ehdolla f(x +L) =f(x) kaikilla x in RR. Pienin tällainen luku L on funktion perusjakso.

Piirrä jokaisessa osatehtävässä funktion kuvaaja omaan koordinaatistoonsa. Anna vastauksena funktion perusjakso sekä kuvaaja, johon on merkitty perusjakson mittainen osa x-akselia.

  1. f(x) =sin(2 ~p x) (4 p.)

  2. g(x)=|\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)| (4 p.)

  3. Anna esimerkki jaksollisesta funktiosta h\colon \mathbf{R}\to\mathbf{R}, jonka perusjakso on 4. (4 p.)

 

10. Ohjelmakoodi ja tekijät 12 p.

Aineisto

  1. Teksti: Papun koodi

Papu yritti selvittää positiivisen kokonaisluvun alkutekijät. Tähän tarkoitukseen hän kirjoitti Python-koodin, joka on esitetty tekstissä 10.A. Koodissa #-merkkiä seuraava teksti on kommentti, joka ei vaikuta ohjelman toimintaan. Papu ajoi ohjelman muuttujan n eri alkuarvoilla. Hän huomasi, että toisinaan ohjelma toimi virheettömästi ja tulosti luvun n alkutekijät, toisinaan se tulosti muitakin lukuja.

Osatehtävissä 10.1 ja 10.2 vastauksesta täytyy ilmetä käytetty alkuarvo ja ohjelman tuloste.

  1. Anna esimerkki luvun n alkuarvosta, jolle ohjelma tulostaa listan, joka sisältää vain luvun n alkutekijöitä. (3 p.)

  2. Anna esimerkki luvun n alkuarvosta, jolle ohjelma tulostaa muitakin kuin luvun n alkutekijöitä. (3 p.)

  3. Selitä, miksi ohjelma ei aina toimi niin kuin Papu oli tarkoittanut. (6 p.)

Huomaa, että tehtävässä annettua ohjelmakoodia voi ajaa koeympäristön ohjeiden Ohjelmointi-välilehdellä. Siellä on myös Python-kielen käskyjen selityksiä.

 

B2-osa

Vastaa kahteen tehtävään.

11. Paraabelialueita 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Alueiden leikkaus

Tarkastellaan tasojoukkoa P_0, jonka alareuna on x-akselin jana [-1, 1] ja yläreuna paraabelin kaari y =1 -x^2, -1 <= x <= 1. Arvoilla a > 0 määritellään uusi joukko P_a siirtämällä joukkoa P_0 vaakasuorassa suunnassa oikealle etäisyyden a verran. Olkoon L_a =P_0 nn P_a joukkojen P_0 ja P_a leikkaus eli yhteinen osa. Kuvassa 11.A on esimerkkinä tapaus a=0{,}75.

  1. Määritä joukon L_0,75 pinta-ala. (4 p.)

  2. Olkoon a sellainen parametrin arvo, että joukon L_a pinta-ala on puolet joukon P_0 pinta-alasta. Tämä arvo a on erään kolmannen asteen yhtälön ratkaisu. Määritä tämä yhtälö ja ratkaise siitä parametrin a likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (8 p.)

 

12. Bézier-käyriä 12 p.

Aineisto

  1. Teksti ja animaatio: Bézier-käyrän määritelmä

Bézier-käyriä käytetään tietokoneavusteisessa suunnittelussa (CAD), joka on vektorigrafiikan tärkeä sovelluskohde. Bézier-käyrä määritetään niin sanottujen ohjauspisteiden avulla, kuten tekstissä 12.A on kuvattu.

  1. Eräs lineaarinen Bézier-käyrä koostuu pisteistä B(t) =(4 t, t +2), 0 <= t <= 1. Määritä tämän käyrän ohjauspisteet. (4 p.)

  2. Erään toisen asteen Bézier-käyrän ohjauspisteet ovat P_0 =(-2, 0), P_1 =(0, 8) ja P_2 =(2, 0). Määritä käyrän yhtälö muodossa y =f(x). (8 p.)

 

13. Epäjatkuva funktio 12 p.

Olkoon f: RR -> RR,

f(x) ={3 x -5, kun x <= 1, x^2 +x -2, kun x > 1}.

Jalmari on osoittanut seuraavalla tavalla, että f’(1) =3.

Lasketaan funktion f erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot kohdassa x =1. Tällöin

lim_(x -> 1-) (f(x) -f(1)) /(x -1) =lim_(x -> 1-) (3 x -5 -(3 *1 -5))' /(x -1) =lim_(x -> 1-) (3 x -3) /(x -1) =lim_(x -> 1-) 3 (x -1) /(x -1) =3

ja

lim_(x -> 1+) (f(x) -f(1)) /(x -1) =lim_(x -> 1+) (x^2 +x -2 -(1^2 +1' -2)) /(x -1) =lim_(x -> 1+) (x^2 +x -2) /(x -1) =lim_(x -> 1+) ((x -1) (x +2)) /(x -1) =lim_(x -> 1+) (x +2) =3.

Koska erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret ja niiden yhteinen arvo on 3, niin funktio f on derivoituva kohdassa x =1 ja f’(1) =3.

  1. Osoita, että f ei ole jatkuva kohdassa x =1. Miksi tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa? Minkä virheen Jalmari tekee todistuksessaan? (6 p.)

  2. Osoita, että f on monotoninen joukossa RR. (6 p.)

 

Kokeen tehtävät loppuvat tähän.

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.