FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Määritä kuviin merkityt tuntemattomat kulmat asteen tarkkuudella.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

Paju on ottanut 135 000 euron lainan, jonka kiinteä vuosikorko on 4,5 prosenttia ja takaisinmaksuaika 12 vuotta ja jota lyhennetään kuukausittain. Laske Pajun 13. maksuerä, kun kyseessä on

1. annuiteettilaina. (6 p.)

2. tasalyhennyslaina. (6 p.)

1. Kuvassa 4.A on funktion u(x)=a\,b^x kuvaaja. Määritä vakiot a ja b. (6 p.)

2. Kuvassa 4.B on kuvaajat f, g ja h. Kaksi niistä ei ole muotoa v(x)=c\,d^x olevan funktion kuvaaja millään vakioilla c ja d. Perustele, mitkä kaksi. (6 p.)

Ohjelmistoyhtiö järjestää koulutuspäivän, jonka tilavuokrat ovat 1 000 euroa. Osallistumismaksu on 30 euroa, joka sisältää ruokailun koulutuspäivän lopuksi. Ruokailun järjestäminen maksaa ohjelmistoyhtiölle 11,50 euroa jokaista ruokailijaa kohti, mutta järjestäjät arvioivat, että puolet osallistujista lähtee kotiin heti koulutuksen päätyttyä eikä osallistu ruokailuun. Kuinka monta osallistujaa koulutuspäivään pitäisi saada, jotta se ei tuottaisi tappiota ohjelmistoyhtiölle? Vastaa kysymykseen muodostamalla ongelmaa kuvaava yhtälö tai epäyhtälö ja ratkaisemalla se. Tehtävässä ei huomioida veroja.

Taulukossa 6.A on esitetty loppuvuonna 2022 raakapuusta harvennushakkuun yhteydessä maksetun kuutiohinnan keskiarvoja eri alueilla.

Mikolla on mäntyä kasvava metsäpalsta Etelä-Suomessa ja Maijulla kuusta kasvava palsta Kainuussa. Mikon palstalta hakattiin harvennushakkuussa noin 110 kuutiometriä puuta, josta 40 % oli tukkipuuta ja 60 % kuitupuuta. Maijun palstalta hakattiin harvennuksessa noin 120 kuutiometriä puuta, josta 70 % oli tukkipuuta ja 30 % kuitupuuta. Kuinka paljon Mikolle ja Maijulle maksettiin hakkuista, kun puun ostaja maksoi heille puun hinnan lisäksi 24 %:n arvonlisäveron?

Tiimalasi koostuu kahdesta samanlaisesta osasta, jotka on asetettu vastakkain; katso esimerkki kuvassa 7.A. Yhden osan korkeus on 18 cm. Tiimalasi sisältää nestettä, joka valuu hitaasti yläosasta alaosaan. Nestettä on sen verran, että tiimalasin alaosa on täynnä nestettä, kun yläosa on tyhjentynyt.

Tiimalasi käännetään, kun kaikki neste on alaosassa. Kääntämisestä kulunut aika t minuutteina voidaan laskea kaavalla

t =120 [1- (1 -h/18)^3],

jossa h on (uudessa) alaosassa olevan nesteen pinnan korkeus senttimetreinä pohjasta mitattuna.

1. Millä korkeudella tiimalasin pohjalla olevan nesteen pinta on, kun aikaa kääntämisestä on kulunut tasan tunti? (4 p.)

2. Kun aikaa on kulunut 13 minuuttia, niin tiimalasin pohjalla on 1,0 desilitraa nestettä. Tiedetään, että tiimalasin pohjalla olevan nesteen määrä on suoraan verrannollinen kääntämisestä kuluneeseen aikaan. Kuinka paljon nestettä tiimalasissa kaiken kaikkiaan on? (8 p.)

Yritys valmistaa D3-vitamiinikapseleita. Pakkauksen mukaan yksi kapseli sisältää 50 mikrogrammaa D3-vitamiinia. Yritys antaa kapseleiden laadunvarmistuksen erään tutkimuslaitoksen tehtäväksi. Laitoksen mikrobiologi määrittää yhden kapselin sisältämän D3-vitamiinin määrän olevan normaalijakautunut odotusarvona 54,1 mikrogrammaa ja keskihajontana 8,4 mikrogrammaa.

1. Vitamiinin käyttäjä valitsee pakkauksesta umpimähkään yhden kapselin. Millä todennäköisyydellä kapseli sisältää vähintään 50 mikrogrammaa D3-vitamiinia? (5 p.)

2. Yritys haluaa varmistaa, että 95 % kapseleista sisältää vähintään 50 mikrogrammaa D3-vitamiinia. Millä D3-vitamiinimäärän odotusarvolla tämä vaatimus saavutetaan laadunvarmistuksessa? Oletetaan, että vitamiinin määrän kasvattaminen ei vaikuta keskihajontaan. (7 p.)

Tarkastellaan polynomifunktiota p(x) =x^3 +2 x^2 -11 x -1.

1. Osoita laskulla, että välillä 0 <= x <= 3 funktion p keskimääräinen muutosnopeus on 4. (4 p.)

2. Määritä väliltä 0 <= x <= 3 kaikki sellaiset kohdat, joissa funktion p hetkellinen muutosnopeus on yhtä suuri kuin keskimääräinen muutosnopeus 4. (8 p.)

Oppilas kertoo keksineensä helpon tavan laskea murtolukujen jakolaskun: ''Jaan osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään, jolloin saan suoraan vastauksen murtolukuna.'' Esimerkkinä hän mainitsee

(3/20) /(1/4) =(3/1) /(20/4) =3/5.

1. Onko esimerkkilaskun lopputulos oikein? (2 p.)

2. Laske oppilaan menetelmällä \frac6{35} : \frac35. (4 p.)

3. Keksi esimerkki, jossa ratkaisutapa tuottaa lopputuloksena murtoluvun, joka ei ole supistetussa muodossa. (6 p.)

Tässä murtoluku on muotoa n/m tai -n/m oleva merkintä, jossa n on luonnollinen luku ja m on positiivinen kokonaisluku.

Maitotölkki voidaan mallintaa suorakulmaisena särmiönä ja sen päällä olevana yläosana. Oletetaan, että täydessä maitotölkissä maito täyttää täsmälleen särmiöosan.

1. Sekä litran että 1,75 litran maitotölkin pohja on neliö ja särmiöosan korkeus on 20 cm. Määritä kummassakin tapauksessa pohjaneliön sivun pituus. (4 p.)

2. Arvioidaan pakkauksen materiaalin määrää kaavalla A_1 +4,5 *A_2, missä A_1 on särmiön sivutahkojen yhteenlaskettu pinta-ala ja A_2 on pohjaneliön pinta-ala. Kummassa maitotölkissä on enemmän pakkausmateriaalia suhteessa maidon määrään? (8 p.)

Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvun Ranskasta, jossa eräissä piireissä harjoitettiin uhkapeliä. Antoine Gombaud oli ranskalainen kirjailija ja peluri, joka huomasi, että voiton todennäköisyys oli eri kahdessa noppapelissä, mutta hän ei pystynyt perustelemaan tätä matemaattisesti. Koska Gombaud käytti myös nimeä Chevalier de Méré, tätä kutsutaan de Mérén ongelmaksi. Pelien periaatteet ovat seuraavat:

• Kummassakin pelissä haastaja pelasi de Méréä vastaan. Sekä haastaja että de Méré laittoivat pottiin saman verran rahaa, ja voittaja sai koko potin.

• Ensimmäisessä pelissä de Méré heitti yhtä noppaa neljä kertaa. Jos hän sai vähintään yhden kuutosen, hän voitti, muussa tapauksessa hän hävisi. Kokemus osoitti, että tämä oli de Mérélle tuottoisa peli.

• Toisessa pelissä de Méré heitti kahta noppaa yhtä aikaa 24 kertaa. Jos hän sai vähintään yhden kuutosparin, hän voitti, muussa tapauksessa hän hävisi. Tämä peli osoittautui kuitenkin tappiolliseksi de Mérélle.

Vastatakseen de Mérén ongelmaan kaksi aikalaismatemaatikkoa, Blaise Pascal ja Pierre de Fermat, kehittivät todennäköisyyslaskennan teorian alkeet ja osoittivat, että pitkällä aikavälillä de Méré voittaa ensimmäisessä pelissä ja häviää toisessa. Osoita tämä todennäköisyyslaskennan keinoin.

Avaruusluotain mittaa planeetan lämpötilaa. Sen piti lähettää tietoa lämpötilasta funktiona T(t) aikavälillä 0 <= t <= 9. Ohjelmistovirheen takia saatiin kuitenkin vain tieto, että funktion derivaatta T’(t) on negatiivinen, kun t < 2, positiivinen, kun 2 < t < 4, ja jälleen negatiivinen, kun t > 4. Tutkijat miettivät, mitä tämän perusteella voidaan sanoa lämpötilasta T.

1. Hahmottele esimerkki lämpötilafunktion T kuvaajasta, jolla on lisäksi se ominaisuus, että lämpötilan suurin arvo saavutetaan hetkellä t =4. (6 p.)

2. Hahmottele esimerkki lämpötilafunktion T kuvaajasta, jolla on lisäksi se ominaisuus, että lämpötilan suurinta arvoa ei saavuteta hetkellä t =4. (6 p.)

Selitä kummassakin tapauksessa sanallisesti, miten vaaditut lämpötilafunktion ominaisuudet näkyvät kuvaajassa.