FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Olkoon $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}=5\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{i}+12\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{j}$.

Jokaisesta osatehtävästä voi saada 4 pistettä.

1. Osoita, että yhtälö

   $$\frac{4}{4-<!--\; -\; -->x^2}=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-<!--\; -\; -->x}$$

   on voimassa kaikilla $x\ne <!--\; \ne \; -->\pm <!--\; \pm \; -->2.$

2. Laske integraali

   $${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->1}^1\frac{1}{2+x}dx.$$

3. Laske integraali

   $${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->1}^1\frac{1}{4-<!--\; -\; -->x^2}dx.$$

1. Osoita, että funktion

   $$f(x)=\frac{\tan <!--\; \; -->x}{2+{\tan }^2<!--\; \; -->x}$$

   suurin arvo $M$ välillä on $M=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,353}6.$ Funktion kuvaaja on esitetty kuvassa 4.A. (9 p.)

2. Veden pinnalla vakionopeudella liikkuvan kappaleen (kuten veneen tai sorsan) taakse muodostuu V-kirjaimen muotoinen peräaalto, jonka avautumiskulma ei tietyillä oletuksilla riipu kappaleen nopeudesta. Kelvinin aaltoteorian mukaan tälle kulmalle $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ on voimassa yhtälö

   $$\tan <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=M,$$

   jossa $M$ on kohdassa 1 laskettu arvo. Määritä kulman $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0^{\circ <!--\; \circ \; -->},{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}]$ likiarvo asteen tarkkuudella. (3 p.)

Matti omistaa järven rannalla suorakulmaisen kolmion muotoisen metsäpalstan, jonka kateettien pituudet ovat 150 m ja 120 m. Pidempi kateetti on suoralla rantaviivalla. Matti myy palstastaan Marjalle pinta-alaltaan mahdollisimman suuren suorakulmion muotoisen rantatontin, jonka kaksi sivua ovat metsäpalstan kateeteilla. Mitkä ovat Marjan ostaman rantatontin sivujen pituudet?

Eräitä juomia ja maustekastikkeita kypsytetään puisissa astioissa, jolloin niihin liukenee astian seinämästä makuaineita. Kellarimestarilla on teoria, jonka mukaan säilytysaikana nesteeseen liukenevien makuaineiden määrä on suoraan verrannollinen säilytysastian pinta-alan ja tilavuuden osamäärään. Kellarimestari suunnittelee kypsyttävänsä erän tuotetta astioissa, jotka ovat tavallisten kanssa yhdenmuotoisia, mutta joiden tilavuus on vain neljäsosa tavallisesta. Astian materiaali ja kypsytysaika ovat samat kuin tavallisesti.

Kuinka monta prosenttia enemmän makuaineita tällöin liukenee tuotteeseen kellarimestarin teorian mukaan?

Liisa pelaa Afrikan tähti -peliä. Hän on löytänyt Afrikan tähden ja on palaamassa Kairoon voittaakseen pelin (aineisto 7.A). Hän on neljän askeleen päässä Kairosta. Kairoon saa pysähtyä, vaikka nopan silmäluku oikeuttaisi matkustamaan pidemmälle.

Jos hän heittää vähintään silmäluvun neljä, hän pääsee Kairoon ja voittaa pelin. Jos hän heittää silmäluvun kolme, hän voi olla varma, että seuraavalla heitolla hän pääsee Kairoon ja voittaa pelin. Liisa tarvitsee korkeintaan neljä heittoa päästäkseen Kairoon. Oletetaan, että kukaan muu ei voita peliä tätä ennen.

1. Millä todennäköisyydellä Liisa voittaa ensimmäisellä heitolla? (2 p.)
2. Millä todennäköisyydellä Liisa tarvitsee vähintään kolme heittoa päästäkseen Kairoon? (4 p.)
3. Laske niiden heittojen lukumäärän odotusarvo, jotka Liisa tarvitsee päästäkseen Kairoon. (6 p.)

Tasojoukon $A$ pisteet $(x,y)$ määräytyvät epäyhtälöistä $0\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->2$, $0\le <!--\; \le \; -->y\le <!--\; \le \; -->4$ ja $y\ge <!--\; \ge \; -->x^2.$ Tässä tehtävässä on tarkoitus arvioida joukon $A$ pinta-alaa simulaation avulla käyttämällä sitä tietoa, että todennäköisyys on suoraan verrannollinen pinta-alaan. Arvotaan pisteitä $(x,y)$ suorakulmiosta $B$, jonka määräävät epäyhtälöt $0\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->2$ ja $0\le <!--\; \le \; -->y\le <!--\; \le \; -->4.$

1. Tee sopivalla ohjelmistolla koodi, joka arpoo 1 000 pistettä suorakulmiosta $B$ ja tulostaa vastauksena niiden pisteiden lukumäärän, jotka kuuluvat joukkoon $A$. Kerro sanallisesti ja sopivien kuvakaappausten avulla, miten toteutit koodisi. (Vihje: Voit käyttää esimerkiksi taulukkolaskennan satunnaislukugeneraattoria.) (6 p.)

2. Hille ajoi kohdassa 1 tekemänsä koodin 10 kertaa ja sai alla olevat luvut. Laske tulosten keskiarvo ja arvioi tämän perusteella joukon $A$ pinta-alaa. (6 p.)

   Hillen koodin tulosteet: 673, 664, 672, 679, 667, 650, 640, 678, 660, 667

Funktio $f:\mathbf{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{R}$ määritellään kaavalla

Matemaattinen teksti rakentuu mm. käsitteiden määritelmistä, yleisesti pätevistä tuloksista (lauseet), tulosten todistuksista ja erikoistapauksiin sovelletuista laskuista (esimerkit).

1. Valitse aineiston 10.A kunkin tekstin (a)–(c) kohdalla, onko kyseessä määritelmä, lause, todistus vai esimerkki. Vastauksia ei tarvitse tässä kohdassa perustella. (3 p.)
2. Minkä lauseen kohdassa 1 valitsemasi todistus osoittaa todeksi? Muotoile lauseen sisältö täsmällisesti niin, että sen yhteys todistukseen käy ilmi. (4 p.)
3. Kohdassa 1 valitsit yhden tekstin lauseeksi. Todista tämä lause. (5 p.)

1. Kumpi luvuista

   $${99}^{{100}^{101}}\text{ja}{101}^{{100}^{99}}$$

   on suurempi? (4 p.)

2. Lukujono $(a_n)$ määritellään rekursiivisesti kaavoilla $a_1=1,$ $a_{2n}=a_n$ ja $a_{2n+1}=1-<!--\; -\; -->a_n,$ kun $n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$ Määritä lukujonon seitsemäs jäsen $a_7$ ja 2021. jäsen $a_{2021}.$ (8 p.)

Pöydällä on kolme $3$-säteistä palloa, joista kukin pallo koskettaa kahta muuta. Pallot yritetään peittää puolipallon muotoisella kuvulla, jonka säde on $R.$ Kupu on kuitenkin liian pieni, jolloin sen reuna jää joka kohdassa 1 yksikön korkeudelle pöydästä. Määritä säteen $R$ tarkka arvo.

Olkoot $n\ge <!--\; \ge \; -->1$ kokonaisluku ja ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\in <!--\; \in \; -->\mathbf{R}$, ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\ne <!--\; \ne \; -->0$, kaikille kokonaisluvuille $0\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n.$

Tutkitaan polynomeja

$$P(x)=(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1)(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)=p_n{x}^n+p_{n-<!--\; -\; -->1}{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_{1}x+p_0$$

ja

$$Q(x)=(x-<!--\; -\; -->{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}})(x-<!--\; -\; -->{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}})\cdots <!--\; \cdots \; -->(x-<!--\; -\; -->{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}})=q_n{x}^n+q_{n-<!--\; -\; -->1}{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+q_{1}x+q_0.$$

Tässä siis kertoimet $p_i$ ja $q_i$ määräytyvät yhtälöiden perusteella annettujen lukujen ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j$ avulla.

1. Laske kaikki luvut $p_i$ ja $q_i$, kun $n=2$, ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=2$ ja ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2=3.$ (2 p.)
2. Ratkaise kaikki luvut $p_i$ ja $q_i$ lukujen ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$ ja ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$ avulla tapauksessa $n=2.$ (4 p.)
3. Esitä luvut $q_i$ lukujen $p_j$ $(0\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n,$ $0\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->n)$ avulla yleisessä tapauksessa. (6 p.)