FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

1. Ratkaise yhtälö (x +3) (2 x -1) =4. (6 p.)
2. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2025 ja viides jäsen on 1973. Mikä on lukujonon sadas jäsen? (6 p.)

Järjestön luottamushenkilöiden kokouspalkkioita on korotettu viimeksi vuonna 2009. Vuonna 2023 järjestö päättää korottaa kokouspalkkiotaan 30 eurosta 40 euroon. Ansiotasoindeksi oli 2 717 vuonna 2009 ja 3 667 vuonna 2023. Ylittääkö luottamushenkilöiden ansiokehitys tämän jälkeen yleisen ansiokehityksen? Kuinka suuri uuden kokouspalkkion pitäisi olla, jotta korotus noudattaisi yleistä ansiokehitystä?

Lukiomatematiikassa on tärkeää osata erottaa potenssiyhtälöt ja eksponenttiyhtälöt toisistaan. Yksinkertaistettu potenssiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x^n =t ja yksinkertaistettu eksponenttiyhtälö muodossa a^x =b. Molemmissa esimerkkiyhtälöissä tuntematon muuttuja on x.

1. Anna esimerkki yksinkertaistettua muotoa olevasta potenssiyhtälöstä, jossa n >= 2 ja t !=0 ja jolla on vain yksi ratkaisu. Ratkaise myös yhtälösi. (6 p.)
2. Anna esimerkki yksinkertaistettua muotoa olevasta eksponenttiyhtälöstä, jossa a > 1 ja b > 0. Ratkaise myös yhtälösi. (6 p.)

Pickin lause vuodelta 1899 liittyy tasogeometriaan ja monikulmioiden pinta-aloihin. Monikulmio on piirretty ruudukkoon niin, että sen kaikki kärkipisteet sijaitsevat viivojen risteyskohdissa eli hilapisteissä. Lauseen mukaan tietyntyyppisten monikulmioiden pinta-ala voidaan tällöin laskea kaavalla

(*)\qquad A = S + \frac{R}2 - 1,

jossa A on monikulmion pinta-ala ruutuina, S on monikulmion sisälle jäävien hilapisteiden lukumäärä ja R on monikulmion reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä.

Laske kuvioiden pinta-alat ja osoita, että kaava (*) pitää paikkansa tasokuvion 5.A tapauksessa, mutta ei pidä paikkaansa tasokuvion 5.B tapauksessa.

Määritä esimerkiksi derivaatan avulla polynomifunktion p(x) =x^3 -x^2 +x suurin ja pienin arvo, kun 1 <= x <= 2.

Täydennä virkkeet. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1–2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

Kun Kuu on täydenkuun aikaan lähellä kiertoratansa Maata lähimpänä olevaa kohtaa (perigeum), sitä kutsutaan superkuuksi. Tämän vuosisadan suurin superkuu nähdään 6.12.2052, jolloin Kuun keskipisteen etäisyys Maan pinnalta on noin 350.000 kilometriä. Vastaava etäisyys Kuun kiertoradan kauimpana olevaan kohtaan (apogeum) on noin 401.000 kilometriä. Kuinka monta prosenttia suuremmassa kulmassa Kuu näkyy 6.12.2052 verrattuna pienimpään mahdolliseen kulmaan? Kuun säde on 1737 kilometriä.

Viima on hankkimassa uutta sähkösopimusta. Eräs sähköyhtiö tarjoaa seuraavia sopimuksia:

1. kiinteähintainen: 9,80 snt/kWh + 5,99 e/kk
2. kiinteähintainen, jossa huomioidaan käyttövaikutus: 8,99 snt/kWh + käyttövaikutus + 3,99 e/kk.

Sähkösopimuksessa B esiintyvä käyttövaikutus (yksikkönä snt/kWh) lasketaan kuukausittain kaavalla X /Y -Z. Tässä X lasketaan kuukauden ajalta tuntikohtaisten sähkönkulutusten s_k ja tuntikohtaisten pörssisähkön hintojen h_k avulla kaavalla

X =s_1 h_1 +s_2 h_2 +… +s_720 h_720.

Nimittäjä Y on kuukauden kokonaissähkönkulutus ja Z on tuntikohtaisten pörssisähkön hintojen h_k keskiarvo kuukauden ajalta. Käyttövaikutus voi olla myös negatiivinen.

Viima tarkastelee päätöksensä tueksi syyskuun sähkönkulutustaan. Taulukossa 9.A on esitetty syyskuun sähkönkulutus tunneittain sekä tunteja vastaavat pörssisähkön hinnat. Taulukossa otsikkoa seuraavalla rivillä esiintyvät siis muuttujien s_1 ja h_1 arvot, sitä seuraavalla s_2 ja h_2 ja niin edelleen.

Kummalla sopimuksella Viiman syyskuun sähkölasku olisi ollut pienempi?

Yksi kestävän kehityksen tavoitteista (SDG Tavoite 4.1, lyhenne sanoista Sustainable Development Goal) on tarjota riittävä koulutus mahdollisimman monille ihmisille. Eräs tapa arvioida tämän tavoitteen toteutumista on tarkastella niiden 25–29-vuotiaiden ihmisten prosenttiosuutta p(t), jotka ovat opiskelleet vähintään 12 vuotta. Prosenttiosuuden p(t) kehitys on esitetty kuvassa 10.A, jossa aika t on vuosiluku.

Logistinen malli on eräs tapa ennustaa funktion p(t) arvoja. Sen mukaan

p(t_2) =p(t_1) +c p(t_1) (100 -p(t_1)) (t_2 -t_1),

kun c on malliin liittyvä vakio.

1. Mallinnetaan ensin korkean tulotason maiden koulutettujen osuutta. Määritä vakion c arvo niin, että alkuarvolla p(1970) =54 logistinen malli antaa tulokseksi p(2018) =84. Nämä luvut on poimittu kuvan 10.A käyrästä, jonka otsikko on "High-income". (4 p.)
2. Koko maailman tapauksessa saadaan aikaväliä 1970–2018 käyttämällä vakion arvoksi c = 0{,}000404. Kuvassa 10.A tämä vastaa käyrää, jonka otsikko on "Global". Laske logistisen mallin mukainen vuoden 2030 prosenttiosuuden ennuste käyttämällä vain yhtä aikaväliä 2018–2030 ja kuvasta 10.A poimittua alkuarvoa. Miten hyvin tulos vastaa kuvan 10.A mukaista ennustetta vuodelle 2030? (6 p.)
3. Minä vuonna osatehtävän 10.2 logistisen mallin mukaan koko maailman koulutettujen osuus p(t) saavuttaa 75 %:n rajan? Tutki tilannetta taulukoimalla prosenttiosuuden kehitystä vuoden välein alkaen vuodesta 2018. (8 p.)

Kuvassa 11.A verrataan kirjeen postimaksua ja tekstiviestin vastaanottamiseen kykenevien yhdysvaltalaisten lukumäärää. Kuvassa 11.B verrataan kaupallisten avaruuslentojen ja sosiologian alan tohtorintutkintojen lukumäärää. Vastaa näiden aineistojen perusteella seuraaviin kysymyksiin. Tarvittaessa voit mitata kuvista lukuarvoja sopivassa ohjelmistossa.

1. Minkä kahden peräkkäisen vuoden välillä kirjeen postimaksu muuttui eniten? (4 p.)
2. Minä vuonna kaupallisten avaruuslentojen lukumäärä on ollut lähimpänä vuosien 1997–2009 keskiarvoa? (8 p.)
3. Miten kuvissa 11.A ja 11.B näkyy muuttujien välinen korrelaatio? Kummassa tapauksessa on perustellumpaa arvioida, että ilmiöiden välillä on syy-seuraussuhde? (6 p.)