FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

19.3.2025

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on kuusi tehtävää, joista vastataan viiteen. B1-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on kolme tehtävää, joista vastataan kahteen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää koejärjestelmän taulukkokirjoja ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 6 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa viiteen tehtävään.

1. Perustehtäviä 12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauskenttään voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

1.1 Ratkaise yhtälö 5 x -17 =43. 2 p.

x =

1.2 Ratkaise potenssiyhtälö 2 x^3 -128 =0. 2 p.

x =

1.3 Ratkaise yhtälö sin x /2 =1/2 , kun 0^@ < x < 90^@. 2 p.

x = astetta

1.4 Määritä f'(2), kun f(x) =x^4 +100. 2 p.

f'(2) =

1.5 Määritä integraalin A =int_1^4 3 x^2 dx arvo. 2 p.

A =

1.6 Määritä kolmaskymmenes termi a_30 aritmeettisessa lukujonossa (a_1, a_2, a_3, ...) =(1, 8, 15, ...). 2 p.

a_30 =

2. Sievennyksiä 12 p.

  1. Sievennä lauseke (y^2 -4) (y +1) /(y -2) , kun y !=2. (6 p.)
  2. Sievennä lauseke sqrt((z -1)^2 +2 (z -1) +1). (6 p.)
 

3. Suorakulmaiset kolmiot 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Hahmotelma kolmioista

Suorakulmaisen kolmion ABC sivujen pituudet ovat |AB| =3, |AC| =4 ja |BC| =5. Suorasta kulmasta A piirretään korkeusjana kohtisuoraan hypotenuusalle pisteeseen D. Pisteestä D piirretään edelleen kohtisuora jana kateetille AC pisteeseen E. Lopputulos on hahmoteltu kuvassa 3.A.

Määritä suorakulmaisen kolmion ADE kateettien pituudet.

 

4. EKP:n korkopäätös 12 p.

Euroopan keskuspankki (EKP) on päättämässä eräästä ohjauskorosta, jonka nykyinen taso on 4,25 %. Ryhmä taloustieteilijöitä ennustaa, että 0,25 prosenttiyksikön korotukselle on 50 %:n todennäköisyys ja ohjauskoron pitämiselle muuttumattomana on 50 %:n todennäköisyys. Kun uusi tieto inflaatiosta vuotaa julkisuuteen, taloustieteilijät korjaavat ennustettaan 0,25 prosenttiyksikön korotuksen todennäköisyydestä 65 %:iin, jolloin koron todennäköisyys pysyä muuttumattomana on siis 35 %.

Kuinka monta prosenttiyksikköä ohjauskoron odotusarvo kasvaa uuden tiedon seurauksena?

 

5. Suurin arvo 12 p.

Määritä funktion f(x) =x^2025 e^-x suurin arvo, kun x >= 0.

 

6. Eukleideen algoritmi 12 p.

Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 5322 ja 342 suurin yhteinen tekijä.

 

Voit käydä tarkastelemassa A-osan vastauksiasi nyt.
Palautettuasi A-osan et voi enää muokata A-osan vastauksia.

Tarkastelun jälkeen voit palata kokeeseen jatkamaan tehtäviin vastaamista.

•••

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöösi palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

7. Merkki- ja kulkukaaviot 12 p.

Aineisto

  1. Kuva: Merkki- ja kulkukaaviot

Valitse osatehtävissä 7.1–7.6 funktiolle oikea merkkikaavio tai kulkukaavio kuvan 7.A vaihtoehdoista A–H. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

7.1 f(x) =x^2 +2 x -8 2 p.

 ABCDEFGH

7.2 f(x) =3 x +6 2 p.

 ABCDEFGH

7.3 f(x) =2 x^2 +4 x -6 2 p.

 ABCDEFGH

7.4 f(x) =4 -x -x^3 2 p.

 ABCDEFGH

7.5 f(x) =3 x^2 +9 x +6 2 p.

 ABCDEFGH

7.6 f(x) =2 x -5 2 p.

 ABCDEFGH

8. Janojen pituudet 12 p.

Tasossa on pisteet A =(-6, -1), B =(-1, 11) ja C =(8, -1). Valitaan piste X janalta AB, piste Y janalta BC ja piste Z janalta AC niin, että |AX| =|AZ| =a, |BX| =|BY| =b ja |CZ| =|CY| =c.

Muodosta yhtälöryhmä luvuille a, b ja c, ja ratkaise se.

 

9. Afrikan tähti 12 p.

Afrikan tähti -pelissä on 30 pahvikiekkoa: 12 tyhjää, 5 hevosenkenkää, 3 rosvoa, 4 keltaista topaasia, 3 vihreää smaragdia, 2 punaista rubiinia ja 1 Afrikan tähti -timantti. Pelin alussa kiekot sekoitetaan ja asetetaan nurin päin pelilaudalle, jolloin kaikki kiekot näyttävät samanlaisilta. Kun pelaaja kääntää kiekon, se poistetaan pelistä. Pelinappuloita liikutetaan pelilaudalla noppaa heittämällä; pelinappulan sijainti määrää, minkä kiekon voi kääntää.

9.1 Valitse oikea vaihtoehto. 4 p.

Näitä vastauksia ei tarvitse perustella. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, merkitse jokaiseen osatehtävään vastausvaihtoehto ”En vastaa.”. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
9.1.1 Ensimmäinen kääntämäsi pahvikiekko on tyhjä ja toinen rubiini. 1 p.
9.1.2 Kääntämäsi pahvikiekko osoittautuu topaasiksi, ja saat seuraavalla heitolla silmäluvun 4. 1 p.
9.1.3 Saat heittovuorollasi nopan silmäluvuksi 6 ja vastapelaaja vuorollaan nopan silmäluvuksi 4. 1 p.
9.1.4 Saat pahvikiekosta rosvon, ja vastapelaaja saa pahvikiekostaan smaragdin. 1 p.

9.2 Vastaa osatehtävien 9.2.1–9.2.2 kysymyksiin normaalisti perustellen. 8 p.

  1. Millä todennäköisyydellä saat kahdella heitolla noppien silmälukujen summaksi vähintään 10? (4 p.)
  2. Tähän mennessä pelissä on käännetty seitsemän tyhjää, yksi topaasi, yksi rubiini ja yksi rosvo. Millä todennäköisyydellä seuraavan käännetyn pahvikiekon takana on joko Afrikan tähti tai hevosenkenkä? (4 p.)
 

10. Eksponenttijakauma 12 p.

Eksponenttijakaumaa voi käyttää esimerkiksi hiukkassäteilyn tai asiakasvirtojen mallintamiseen. Jakauman tiheysfunktio (vakiolla ~l > 0) on

f_~l (x) ={~l e^(-~l x), kun x >= 0, 0, muuten}.

Satunnaismuuttuja X noudattaa tätä jakaumaa. Määritä todennäköisyys P(X >= 7), joka riippuu vakiosta ~l.

 

B2-osa

Vastaa kahteen tehtävään.

11. Oikein vai väärin? 12 p.

  1. Olivia derivoi funktion f(x) =(x^3 -2 x +1) /10 seuraavasti:

    f'x =(10 D(x^3 -2 x +1) -(D10) (x^3 -2 x +1) / 10^2 =10 D(x^3 -2 x +1) /10^2 =(3 x^2 -2) /10.

    Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. Johda lopputulos myös jollakin yksinkertaisemmalla tavalla. (4 p.)

  2. Leo selvittää seuraavasti, kuinka moneen nollaan luku 2000! -10^300 päättyy:

    Kertomassa kerrotaan peräkkäisiä lukuja ykkösestä alkaen, joten luvun perään saadaan nolla aina, kun tulee vastaan kymmenen. Kymmenellä jaollisia lukuja on tulossa 2000 /10 =200. Lisäksi nolla tulee luvun perään, jos tulon tekijöinä on kahdella jaollinen luku ja viidellä jaollinen luku. Kahdella jaollisia lukuja on niin tiheässä, että riittää tarkastella viidellä jaollisia. Niitä on 2000 /5 =400. Yhteensä ensimmäisessä luvussa on siis 200 +400 =600 nollaa. Toisessa luvussa on 300 nollaa. Erotuksessa on siten 600 -300 =300 nollaa.

    Tämän jälkeen Leo tarkisti laskimella, ja laskin antoi tulokseksi 5736-numeroisen luvun, joka päättyi 300 nollaan. Tästä hän totesi päätelleensä oikein.

    Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. (8 p.)

 

12. Arvioitava integraali 12 p.

Olkoon n >= 0 kokonaisluku. Todista epäyhtälö

int_0^1 sin(~p x) (x (1 +x) (1 -x))^n dx <= 2 /~p *(2 /(3 sqrt(3))^n.

Vihje: Jos f(x) <= g(x) välillä [0, 1], niin int_0^1 f(x) dx <= int_0^1 g(x) dx.

 

13. Vektorien ristitulo 12 p.

Vektorien vec a =a_x vec i +a_y vec j +a_z vec kjavec b =b_x vec i +b_y vec j +b_z vec k ristitulo määritellään lausekkeella

vec a * vec b =(a_y b_z -a_z b_y) vec i +(a_z b_x -a_x b_z) vec j +(a_x b_y -a_y b_x) vec k.

Todista tätä lauseketta käyttäen seuraavat ristitulovektorin tunnetut ominaisuudet:

  1. Se on kohtisuorassa vektoria vec a vastaan. (3 p.)
  2. Sen pituus on sama kuin vektorien vec a ja vec b virittämän suunnikkaan ala. (9 p.)
 

Kokeen tehtävät loppuvat tähän.

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.