FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä
19.9.2023
Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.
A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.
Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.
Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.
A-osa
Vastaa neljään tehtävään.1. Funktiot ja lukujonot 12 p.
Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
Jos f(x) =x^2 +2, niin f(2) = 2 p.
Jos g(x) =sqrt(x), niin g(16) = 2 p.
Jos f(x) =x^2 +2 ja h(x) =x^3 -2, niin f(x) +h(x) = 2 p.
Jos f(x) =x^2 +2 ja h(x) =x^3 -2, niin f(x) *h(2) = 2 p.
Jos a_n =3 n +1, niin a_4 = 2 p.
Jos aritmeettisessa lukujonossa a_0 =3 ja a_1 =7, niin a_3 = 2 p.
2. Vaatekaupassa 12 p.
Farkkujen alkuperäinen hinta on 56,00 euroa ja alennusmyynnissä hintaa alennetaan 30 %. Mikä on alennettu hinta? (4 p.)
Takin alkuperäinen hinta on 79,00 euroa ja alennettu hinta 55,30 euroa. Mikä on alennusprosentti? (4 p.)
Vaatteiden arvonlisäverokanta on 24 %. Kuinka monta euroa paidan 45,00 euron myyntihinnasta on arvonlisäveroa? (4 p.)
3. Tuntemattomia muuttujia 12 p.
Aineisto
Kuvassa 3.A on suora y = ax + b, jonka kertoimet a ja b ovat kokonaislukuja. Päättele kuvaajan perusteella kertoimien arvot ja perustele, miten päädyit ratkaisuun. (4 p.)
Ratkaise p murtolukuna yhtälöstä \displaystyle\Big(\frac35+\frac34\Big)\cdot p=\frac35. (2 p.)
Ratkaise q murtolukuna yhtälöstä \displaystyle\Big(\frac13-\frac12\Big):q=\frac12. (2 p.)
Ratkaise x yhtälöstä \displaystyle\frac{4n^{2^3} (n^2)^3}{2n}\cdot x=8n^{10}. (4 p.)
4. Pythagoraan kolmikot 12 p.
Positiiviset kokonaisluvut a, b ja c muodostavat Pythagoraan kolmikon, jos a^2 +b^2 =c^2.
Näitä kolmikoita voidaan muodostaa seuraavasti. Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja, joille m > n. Tällöin luvut a =m^2 -n^2, b =2 mn ja c =m^2 +n^2 muodostavat Pythagoraan kolmikon.
Muodosta yllä esitetyllä tavalla jokin Pythagoraan kolmikko. (3 p.)
Anna esimerkki kolmesta positiivisesta kokonaisluvusta, jotka eivät muodosta Pythagoraan kolmikkoa. (3 p.)
Määritä luvut m ja n silloin, kun Pythagoraan kolmikkona ovat luvut a =15, b =8 ja c =17. (3 p.)
Perustele, että jos a, b ja c on muodostettu lukujen m ja n avulla kuten tehtävän alkutekstissä, niin a^2 +b^2 =c^2. (3 p.)
Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.
B1-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.5. Laskettelumatka 12 p.
Lukion 32 opiskelijan ryhmä varaa laskettelumatkaa varten linja-auton, jonka kustannukset jaetaan tasan osallistujien kesken. Neljä opiskelijaa joutuu perumaan lähtönsä, jolloin jokainen osallistuja maksaa lopulta 15 euroa alkuperäistä hintaa enemmän. Kuinka paljon yhden osallistujan matka lopulta maksoi?
6. Postimerkin lisäpainama 12 p.
Aineisto
Karoliinien saariryhmä oli yksi Saksan keisarikunnan siirtomaista. Siirtomaan ensimmäinen postimerkkisarja valmistettiin Saksan postimerkeistä painamalla niihin teksti ''Karolinen''. Lisäpainamasta on kaksi eri tyyppiä, loiva ja jyrkkä, joiden luettelohinnat ovat 1 800 ja 180 euroa. Loivan lisäpainaman kaltevuuskulma on noin 48^{\circ} vaakatasosta mitattuna ja jyrkän lisäpainaman 56^{\circ}.
Arvioi kuvan 6.A postimerkin lisäpainaman kaltevuuskulmaa. Onko lisäpainama loivaa vai jyrkkää tyyppiä? (6 p.)
Lisäpainaman ympärille piirretään mahdollisimman pieni suorakulmio. Arvioi, kuinka monta prosenttia suorakulmio peittää postimerkin pinta-alasta. Valkoisia reunoja ei lasketa mukaan postimerkin pinta-alaan. (6 p.)
Tehtävän voi ratkaista joko sopivalla ohjelmalla tai mittaamalla lukuarvoja näytöltä. Molemmissa vaihtoehdoissa täytyy käydä ilmi ratkaisutavan välivaiheet.
7. Urheilusukat 12 p.
Kilpajuoksijalla on kuusi urheilusukkaa sekaisin pienessä korissa. Kolmessa sukassa on merkki L ja kolmessa R. Juoksija ottaa korista umpimähkään kaksi sukkaa peräkkäin. Määritä todennäköisyys sille, että
ensimmäisessä sukassa on merkki L (2 p.)
molemmissa sukissa on merkki L (4 p.)
sukissa on eri merkit. (6 p.)
8. Polynomifunktio 12 p.
Olkoon p(x) =x^4 -4 x^3 -8 x^2 +48 x.
Laske derivaatta p’(x) ja ratkaise derivaatan nollakohdat. (4 p.)
Millä väleillä funktio p on kasvava? (4 p.)
Määritä funktion p pienin arvo. Missä kohdassa se saavutetaan? (4 p.)
9. Luottamusväli 12 p.
Pakkauskone on säädetty täyttämään puolen kilon muropaketteja. Laadunvalvonnassa punnitaan 100 pakettia, joiden painon keskiarvoksi saadaan 509 grammaa ja keskihajonnaksi 6,0 grammaa. Oletetaan, että paketin paino noudattaa normaalijakaumaa N(509; 6,0).
Millä todennäköisyydellä paketin paino on korkeintaan 500 grammaa? (4 p.)
Määritä paketin painon keskiarvon keskivirhe ja 95 %:n luottamusväli, eli luottamusväli 95 %:n luottamustasolla. (8 p.)
B2-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.10. Matematiikan merkintöjä 12 p.
Kuinka seuraavat sanalliset kuvaukset voidaan ilmaista symbolein?
Valitse parhaiten soveltuva vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p. tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.
10.1 Luvun 6 kuutiojuuri. 1 p.
10.2 Parilliset kokonaisluvut. 1 p.
10.3 Luvun 7/5 käänteisluvun ja vastaluvun summan itseisarvo. 2 p.
10.4 Luvut A ja B ovat suoraan verrannolliset verrannollisuuskertoimella k. 1 p.
10.5 Kun kerrotaan kaksi samakantaista potenssia, niin eksponentit lasketaan yhteen. 1 p.
10.6 Tuotteen lopullinen hinta, kun alkuperäistä hintaa 129 € alennetaan ensin 10 % ja alennettua hintaa myöhemmin vielä 20 %. 1 p.
10.7 Lukusuoran pisteen x etäisyys pisteestä -2 on 3. 1 p.
10.8 Tason pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (1, -3) on 4. 2 p.
10.9 Suorien 2 x -3 y =1 ja -x +4 y =-2 leikkauspiste. 1 p.
10.10 Funktion f arvo kohdassa 2 on suurempi kuin funktion g arvo kohdassa -3. 1 p.
11. Rokottamisen tehokkuus 12 p.
Tutkijat ovat kehittäneet yksinkertaistetun mallin rokottamisesta viruspandemiassa. Mallin mukaan viruspandemia saadaan maassa hallintaan, jos H >= (1 -1/R_0) /E. Tässä
R_0 > 0 on viruksen perusuusiutumisluku
E > 0 on rokotteen tehokkuus
H on rokotettujen osuus maan väestöstä.
Muuttujat E ja H ovat prosenttilukuja sadasosina, eli esimerkiksi 1 % on 0,01.
Oletetaan, että R_0 =3. Määritä pienin mahdollinen H, jolla viruspandemia saadaan hallintaan rokotteella, jonka tehokkuus E on 80 %. (4 p.)
Mutaation seurauksena perusuusiutumisluku kasvaa arvoon 4,5. Mikä on rokotteen pienin mahdollinen tehokkuus E, jolla viruspandemia saadaan hallintaan, jos H on 80 %? (4 p.)
Anna esimerkki näiden kolmen muuttujan arvoista, joilla viruspandemiaa ei voi mallin mukaan saada hallintaan. (4 p.)
12. Maailman väestö 12 p.
Taulukossa 12.A on esitetty maailman väestömäärä vuodesta 1950 vuoteen 2020.
Mallinna väestömäärää sovittamalla aineistoon regressiosuora y =a +bx kun x on vuosi ja y väestömäärä. (4 p.)
Väestönkasvua voi mallintaa myös lukujonolla y_n =c q^n, missä n on vuosi ja y_n on väestömäärä. Määritä parametrit c ja q käyttämällä vuosien 2010 ja 2020 väestömääriä. Vaihtoehtoisesti voit käyttää mallia y_n =c e^kn, joka on käytössä tietyissä ohjelmistoissa. (4 p.)
Määritä ennusteet vuoden 2040 väestömäärästä osatehtävien 12.1 ja 12.2 mallien perusteella. (2 p.)
Arvioi osatehtävien 12.1 ja 12.2 mallien hyviä tai huonoja puolia. Mainitse kummastakin mallista yksi seikka. (2 p.)
13. Peräkkäiset kruunat 12 p.
Kolikkoa heitetään useita kertoja peräkkäin. Tällöin merkintä F_n ilmaisee kaikkien sellaisten tapausten lukumäärän, joissa n:ssä heitossa esiintyy vähintään kaksi peräkkäistä kruunaa. Tiedetään, että palautuskaava
F_(n +3) =2 F_(n +2) -F_n +2^n
pätee, kun n >= 1.
Määritä F_1, F_2 ja F_3 laskemalla eri tapausten lukumäärät. (4 p.)
Kolikkoa heitetään kuusi kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan vähintään kaksi peräkkäistä kruunaa? (4 p.)
Kolikkoa heitetään kuusi kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan vähintään kaksi kruunaa? (4 p.)
Kokeen tehtävät loppuvat tähän.
Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.