FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

19.9.2023

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa neljään tehtävään.

1. Yhtälö ja epäyhtälö 12 p.

  1. Ratkaise yhtälö -7x+3=17. (3 p.)

  2. Ratkaise epäyhtälö -7x+3<17. (3 p.)

  3. Ratkaise yhtälö x^2+x=2. (3 p.)

  4. Ratkaise epäyhtälö x^2+x-2\le 0. (3 p.)

 

2. Tason pisteitä 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin.

Määritä seuraavien pisteiden koordinaatit, jotka ovat kokonaislukuja. Anna kaikissa osatehtävissä pelkkä vastaus ilman välilyöntejä, välivaiheita tai perusteluja, esimerkiksi muodossa (-5,5) eikä ( - 5, 5) tms.

2.1 Piste, jossa suora y=3x+7 leikkaa y-akselin.  2 p.

(x,y)=

2.2 Pisteiden (0,0) ja (6,8) välisen janan keskipiste.  2 p.

(x,y)=

2.3 Suorien x+y=0 ja 2x+5y=3 leikkauspiste.  2 p.

(x,y)=

2.4 Käyrän xy=6 piste, jonka y-koordinaatti on 3.  2 p.

(x,y)=

2.5 Ympyrän (x+1)^2+(y-2)^2=5 keskipiste.  2 p.

(x,y)=

2.6 Paraabelin y=(x-3)^2+1 huippupiste.  2 p.

(x,y)=

3. Minimointi 12 p.

Määritä funktion \displaystyle f(x)=x^2+\frac{16}{x^2} pienin arvo, kun x>0.
 

4. Vektorit ja taso 12 p.

Tarkastellaan vektoreita \overline{u}=3\,\overline{i}+\overline{j}-2\,\overline{k},  \overline{v}=\overline{i}+2\,\overline{j}-2\,\overline{k}  ja  \overline{w}=-5\,\overline{i}-5\,\overline{j}+6\,\overline{k}.

  1. Määritä vektori \overline{u}+2\,\overline{v}-\overline{w}. (3 p.)

  2. Vektorit \overline{u} ja \overline{v} virittävät origon kautta kulkevan tason T, eli ne ovat tason suuntavektoreita. Määritä pisteen (6,7,1) etäisyys tasosta T. (9 p.)

 

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

5. Matematiikan merkintöjä 12 p.

Kuinka seuraavat sanalliset kuvaukset voidaan ilmaista symbolein?

Valitse parhaiten soveltuva vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p. tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

5.1 Luvun 6 kuutiojuuri. 1 p.

 6^3 \pm 6^3 3^6 \sqrt[3]{6} \pm\sqrt[3]{6} \sqrt[6]{3}

5.2 Parilliset kokonaisluvut. 1 p.

 k\in\mathbf{Z} 2k,\ k\in\mathbf{Z} 2k+1,\ k\in\mathbf{Z} k+1,\ k\in\mathbf{Z} \frac{k}{2},\ k\in\mathbf{Z}

5.3 Luvun \frac{7}{5} käänteisluvun ja vastaluvun summan itseisarvo. 2 p.

  |\left(\frac{5}{7}\right)^{-1}+\left(-\frac{7}{5}\right)| |\frac{7}{5}+(-\frac{7}{5})|^{-1} |\frac{5}{7}+(-\frac{7}{5})| |\frac{5}{7}|+|-\frac{7}{5}| \frac{5}{7}+\frac{7}{5} \left(\frac{7}{5}\right)^{-1}-\frac{7}{5}

5.4 Luvut A ja B ovat suoraan verrannolliset verrannollisuuskertoimella k. 1 p.

  A:B=k A:B^{-1}=k A:B^{-1}=1:k A^{-1}\cdot B^{-1}=k AB=1:k

5.5 Kun kerrotaan kaksi samakantaista potenssia, niin eksponentit lasketaan yhteen. 1 p.

  x^nx^m=x^{n+m} x^nx^m=x^{nm} x^{n+m}=x^n + x^m x^{n+m}=x^{nm} (x^n)^m = x^{nm} (x^n)^m = x^{n+m}

5.6 Tuotteen lopullinen hinta, kun alkuperäistä hintaa 129 € alennetaan ensin 10 % ja alennettua hintaa myöhemmin vielä 20 %. 1 p.

  0{,}7\cdot 129 € 129 € -10 € -20 € (100\%-10\%-20\%)\cdot 129 € 0{,}9\cdot 129 € -0{,}8\cdot 129 € 99 € 0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129 €

5.7 Lukusuoran pisteen x etäisyys pisteestä -2 on 3. 1 p.

  |x-2|=3 |x+3|=2 x^2+(-2)^2=3^2 |x-(-2)|=3 |x-3|=2 x+5=0

5.8 Tason pisteen (x,y) etäisyys pisteestä (1,-3) on 4. 2 p.

  |x-1|+|y+3|=4^2 \sqrt{(y+1)^2+(x-3)^2}=4 \sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4 (x,y)^2+(1,-3)^2=4^2 (x+1)^2+(y-3)^2=4^2 |x-3y|=4

5.9 Suorien 2x-3y=1 ja -x+4y=-2 leikkauspiste. 1 p.

  \begin{cases} 2x-3y=0\\ -x+4y=0 \end{cases} \begin{cases} 2x-3y=1\\ -x+4y=-2 \end{cases} 2x-3y-1=-x+4y+2 (x,y)=(1,-2) (2x-3y)\cdot(-x+4y)=1\cdot(-2) x+y=-1

5.10 Funktion f arvo kohdassa 2 on suurempi kuin funktion g arvo kohdassa -3. 1 p.

  2>-3 f(x)=2>-3=g(x) f(2)>g(-3) f(2)\le g(-3) (f(x))^2>(g(x))^{-3} f'(2)>g'(-3)

6. Appelsiinien kuoret 12 p.

Kaupassa myydään kokonaisia appelsiineja 1,50 euron kilohinnalla ja kuorittuja appelsiineja 9,50 euron kilohinnalla. Kuorimattomien appelsiinien ympärysmitta on 25,0 cm ja kuoren paksuus 6,0 mm.

  1. Kuinka suuri osuus appelsiinin tilavuudesta on kuorta? Oletetaan appelsiini palloksi ja kuori tasapaksuksi. (6 p.)

  2. Mikä on kuorimistyön osuus hinnasta prosentteina? Oletetaan, että kuoren ja syötävän osan tiheys on sama ja että kuoren arvo on nolla euroa. (6 p.)

 

7. Ken Guru hyppii 12 p.

Ken Guru on 3\times 3 -ruudukon vasemman yläkulman ruudussa A, ja sen on päästävä hyppimällä oikean alakulman ruutuun B. Yksittäinen hyppy on mahdollinen vain naapuriruutuun joko suoraan oikealle tai suoraan alas, muttei vinottain tai ruudukon ulkopuolelle. Jos mahdollisia vaihtoehtoja on kaksi, niin Ken hyppää niistä kumpaan tahansa todennäköisyydellä 0,5. Muuten se hyppää ainoaan mahdolliseen ruutuun.

  1. Määritä jokaisen mahdollisen reitin todennäköisyys. (8 p.)

  2. Ken palaa ruudusta B takaisin ruutuun A hyppimällä muuten samalla periaatteella, mutta nyt hypyt ovat mahdollisia vain suoraan vasemmalle tai suoraan ylös. Kuinka suurella todennäköisyydellä Ken palaa takaisin samaa reittiä (mutta vastakkaiseen suuntaan) kuin menomatkalla? (4 p.)

 

8. Ison luvun jaollisuus 12 p.

  1. Määritä suurin luku k\in \mathbf N, jolle 1023\equiv -1\ (\text{mod }2^k). (3 p.)

  2. Todista, että luku 2^{12345678910}-1 on jaollinen luvulla 1023. (9 p.)

 

9. Taidemuseon aaltoileva aita 12 p.

Taidemuseon aita halutaan maalata ja sen pinta-alaa mallinnetaan integraalilla

\int_0^4 \bigg(\frac{\cos (10 x+x^2)}2+1\bigg)\, dx.

Arvioi integraalia puolisuunnikassäännön avulla käyttäen 10:tä ja 100:aa jakoväliä. Laske näiden arvioiden suhteelliset virheet, kun integraalin arvo viiden desimaalin tarkkuudella on 3,98636.

 

B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

10. Parilliset ja parittomat funktiot 12 p.

Funktio h: \mathbf{R}\to\mathbf{R} on parillinen, jos h(-x)=h(x) kaikilla x\in \mathbf{R}, ja pariton, jos h(-x)=-h(x) kaikilla x\in \mathbf{R}.

Valitse osatehtävissä 10.1–10.4 oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

Kirjoita osatehtävien 10.5 ja 10.6 vastaukset perusteluineen vastauslaatikkoon.

  1. Funktio a(x)=\sin x   on parillinen on pariton ei ole parillinen eikä pariton 1 p.

  2. Funktio b(x)=\cos x   on parillinen on pariton ei ole parillinen eikä pariton 1 p.

  3. Funktio c(x)=x\sin x   on parillinen on pariton ei ole parillinen eikä pariton 1 p.

  4. Funktio d(x)=\sin x+\cos x   on parillinen on pariton ei ole parillinen eikä pariton 1 p.

  5. Oletetaan, että f on pariton. Osoita, että f(0)=0. (4 p.)
  6. Oletetaan, että g on parillinen ja derivoituva. Osoita, että g' on pariton. (4 p.)
 

11. Väliarvolauseen ehdot 12 p.

Tässä tehtävässä tutkitaan, milloin välillä [-1,1] määritelty funktio f toteuttaa väliarvolause-ehdon:

f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \qquad\text{jollakin luvulla } a\in {}]{-1},1[\,.

Vastaa perustellen seuraaviin osatehtäviin.

  1. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä [-1,1], derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ ja toteuttaa väliarvolause-ehdon. (4 p.)

  2. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä [-1,1] mutta joka ei ole derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.)

  3. Anna esimerkki funktiosta, joka on derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ mutta joka ei ole jatkuva suljetulla välillä [-1,1] eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.)

 

12. Palautuskaavat 12 p.

  1. Olkoon f_n(x)=x^n\sin x ja g_n(x)=x^n\cos x, kun n=0,1,2,\dots Laske derivaatat f_n'(x) ja g_n'(x). (2 p.)

  2. Merkitään

    S_n=\int_0^{\pi}x^n\sin x\, dx \quad\text{ja}\quad C_n=\int_0^{\pi}x^n\cos x\, dx .

    Laske S_0 ja C_0. (2 p.)

  3. Oletetaan, että integraaleille S_n ja C_n pätevät rekursiokaavat

    S_n=nC_{n-1}+\pi^n \quad\text{ja}\quad C_n =-nS_{n-1},

    kun n=1,2,3,\dots Laske näitä kaavoja käyttämällä integraalin S_4 arvo. (2 p.)

  4. Integroi osatehtävässä 1 saadut derivaattakaavat puolittain välillä [0,\pi] ja johda tulosten avulla osatehtävän 3 molemmat rekursiokaavat. (6 p.)

 

13. Kertoman arviointi 12 p.

Perustele seuraavat epäyhtälöt.

  1. \quad\displaystyle\ln k\le \int_k^{k+1} \ln x\, dx,   kun k=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  2. \quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln k\leq \int_1^{n+1} \ln x\, dx,   kun n=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  3. \quad\displaystyle n!\leq e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1},   kun n=1, 2, 3, \ldots (6 p.)

 

Kokeen tehtävät loppuvat tähän.

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.