FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Alla on kuusi osatehtävää 1.1–1.6. Kirjoita kunkin osatehtävän vastauskenttään pelkkä laskun lopputulos ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti, ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta osatehtävästä voi saada 2 pistettä.

1. Ratkaise yhtälöpari

   \begin{cases} x+y=8 & \\ 2x-y=1. & \\ \end{cases}

   (4 p.)

2. Ratkaise yhtälö 2x^2 - \frac52 x + \frac 14 = 0. Anna suurempi juuri tarkkana arvona sievennetyssä muodossa ja pienempi juuri likiarvona kahden desimaalin tarkkuudella. (8 p.)

1. Vuonna 2019 sairaanhoitajan keskimääräinen kuukausipalkka oli 2 535 euroa. Eräs sairaanhoitaja sai 6 prosenttia keskimääräistä parempaa palkkaa. Hänen nettopalkkansa, eli tilille kuukausittain maksettava summa, oli 1 777,25 euroa. Kuinka monta prosenttia palkasta meni veroihin ja muihin pidätettäviin maksuihin? (6 p.)

2. Vuonna 2021 koronaviruskotitestin arvonlisävero oli 24 % ja myyntihinta 5,60 euroa. Tutkijaryhmä ehdotti testien arvonlisäveron alentamista 10 %:iin. Kuinka paljon tuote maksaa, jos tällainen veron muutos siirtyy täysimääräisesti hintaan? (6 p.)

Kolmion ABC sivut AB ja AC ovat 6 senttimetriä pitkiä, ja niiden välinen kulma on \alpha. Piste D sijaitsee sivulla AB niin, että jana CD on kohtisuorassa sivua AB vastaan.

1. Määritä janan CD pituus, kun \alpha=30^\circ. (4 p.)

2. Määritä sellainen \alpha, että kolmion BCD pinta-ala on puolet kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

3. Määritä janan CD pituus, jos kolmion BCD pinta-ala on kolmasosa kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

Tämä tästä -ajankohtaishuumoriohjelman jaksossa 119 kerrottiin, että Helsingin alle mahtuu huoltotunneleihin ja muihin tiloihin 500 eduskuntataloa. Eduskuntatalon tilavuus puolestaan kuvailtiin seuraavasti: ''Tavallinen kylpyamme, jollainen voi olla kotona tai hotellihuoneessa, on tilavuudeltaan noin 300 litraa – – Jos sinulla on 120 000 tällaista kylpyammetta, niin ne täyttävät neljäsosan eduskuntatalosta.''

1. Mikä on eduskuntatalon tilavuus kuutiometreinä? (6 p.)

2. Usein kuulee verrattavan pinta-aloja jalkapallokenttien kokoon. Jalkapallokenttä on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 105 metriä ja 68 metriä. Oletetaan, että huoltotunnelit ja muut tilat ovat suorakulmaisia särmiöitä. Jos huoltotunnelien ja muiden Helsingin alla olevien tilojen korkeus on keskimäärin 4,0 metriä, niin mikä on niiden pohjien yhteenlaskettu pinta-ala jalkapallokenttinä mitattuna? (6 p.)

Lahjaveroa on maksettava, kun omaisuus siirtyy toiselle henkilölle lahjana ja lahjan arvo on 5 000 euroa tai enemmän. Lahjavero määräytyy taulukossa 6.A esitetyn mukaisesti. Tarkastellaan tilanteita, joissa annetaan vain yksi lahja.

1. Mikä on 80 000 euron lahjan veron määrä? Kuinka monta prosenttia tästä lahjasta maksetaan veroa? (6 p.)

2. Kuinka suuresta lahjasta maksetaan 4 000 euroa lahjaveroa? (6 p.)

Pelissä heitetään kolikkoa ja tavallista noppaa.

1. Mikä on todennäköisyys sille, että pelaaja A saa yhdellä kolikonheitolla klaavan ja pelaaja B yhdellä nopanheitolla silmäluvun 5? (4 p.)

2. Pelaaja C väittää pelaajalle D: ''On todennäköisempää, että minä saan kahdella kolikonheitolla kaksi klaavaa kuin että sinä saat kahdella nopanheitolla summaksi vähintään yhdeksän.'' Onko pelaaja C oikeassa? (8 p.)

Paraabeli y=x^2+bx+c kulkee pisteen (9, 5) kautta, ja siinä sen tangentin kulmakerroin on 2. Määritä kertoimet b ja c derivaatan avulla.

Älypuhelinten keskimääräiset käyttöiät eräissä maissa on esitetty taulukossa 9.A.

1. Laske taulukossa esitettyjen keskimääräisten käyttöikien keskiarvo \overline x ja keskihajonta s. (4 p.)

2. Miksi osatehtävässä 9.1 laskettu keskiarvo \overline x ei tuota kyseisten maiden älypuhelinten käyttöikien keskiarvoa? (4 p.)

3. Oletetaan, että älypuhelinten käyttöikä koko maailmassa noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 23 kuukautta ja keskihajonta 2,55 kuukautta. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun älypuhelimen käyttöikä on vähintään kolme vuotta? (4 p.)

Hirsitalon rakentamisessa pitää huomioida, että rakennus painuu kokoon muutaman vuoden ajan. Tämä tehdään jättämällä rako eli niin sanottu painumavara esimerkiksi ovien ja ikkunoiden päälle. Eräs uuden hirsitalon omistaja arvioi, että hirsien painumista tapahtuu kahdeksan vuoden ajan ja vuotuiset painumat muodostavat geometrisen lukujonon. Hänen talonsa painumavara on 6,0 cm.

1. Auta talon omistajaa esittämällä geometrinen lukujono, joka kuvaa talon vuosittaista painumista. Lukujono täyttää seuraavat ehdot:

   • Ensimmäinen jäsen kuuluu välille [2,0 cm; 3,0 cm].

   • Kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa S kuuluu välille [5,0 cm; 6,0 cm].

   Ilmoita vastauksessa lukujonon suhdeluku q ja osoita laskulla, että summa S kuuluu vaaditulle välille. (8 p.)

2. Piirrä pylväsdiagrammi kahdeksan ensimmäisen vuoden vuosittaisista painumista. (4 p.)

Tuhannen palan palapelin koko on 70 cm \times 50 cm. Arvioi, kuinka suuri osuus paloista on reunapaloja. Kirjoita näkyviin, mitä oletuksia arvioinnissasi teet.

Peruskoulujen lukumäärä Suomessa vuosina 2005–2020 on esitetty taulukossa 12.A.

1. Piirrä diagrammi, joka esittää peruskoulujen lukumäärät vuosina 2005–2020. (2 p.)

2. Sovita aineistoon regressiosuora y=a+bx, kun vuosi on x-akselilla ja peruskoulujen määrä y-akselilla. Selitä sanallisesti kertoimien a ja b merkitys. (4 p.)

3. Sovita aineistoon regressiosuora käyttäen vain vuosien 2005–2008 peruskoulujen lukumääriä. (2 p.)

4. Arvioi kummankin mallin perusteella vuosi, jolloin peruskoulut häviävät Suomesta. (4 p.)

Funktioista f ja g tiedetään, että f(0)=0 ja g(0)=5 sekä

2\leq f'(x)\le 3\qquad\text{ja}\qquad 1\leq g'(x)\le 2

kaikilla x.

1. Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat ovat suoria. Perustele graafisesti tai laskemalla, että 4\leq f(2)\le 6 ja 7\leq g(2)\le 9. (6 p.)

2. Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat eivät välttämättä ole suoria. Mitkä seuraavista tilanteista ovat mahdollisia:

   • f(2)=g(2)

   • f(2)<g(2)

   • f(2)>g(2)

   Voit hyödyntää perustelussasi seuraavaa tietoa:
   Jos kahdella funktiolla on sama arvo kohdassa 0 ja toisen funktion derivaatta on suurempi välillä [0, 2], niin tämän funktion arvo on suurempi kohdassa 2. (6 p.)