FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Alla on annettu 12 yhtälöä. Yhdeksää niistä vastaa jokin kuvassa 2.A annetuista kuvaajista. Yhdistä kukin yhtälö sitä vastaavaan kuvaajaan tai merkitse, että sellaista ei ole.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Kymmenen metriä pitkä museoratakisko on vääntynyt lämpölaajenemisen vuoksi mutkalle, mutta sen päät ovat pysyneet paikoillaan (katso liioiteltu kuva 3.A tilanteesta). Kiskon poikkeama sen alkuperäisestä sijainnista kohtisuoraan mitattuna on muotoa

f(x)=\frac{x^3-15x^2+50x}{1000},

kun x on etäisyys kiskon alkupäästä. Missä kohdissa kiskon poikkeama sen alkuperäisestä asemasta on suurin? Määritä myös suurin poikkeama. Muuttujan x ja poikkeaman yksikkönä on metri.

Määritä kaikki suorat, joiden etäisyys pisteestä A=(-2,0) on 2 ja etäisyys pisteestä B=(3,0) on 3.

Kuparikaiverrus Melankolia I (katso kuva 5.A) on saksalaisen Albrecht Dürerin tunnetuimpia teoksia. Teos sisältää 4\times 4 -taikaneliön, jossa jokaisen vaaka- ja pystyrivin lukujen summa on 34. Alla olevassa ruudukossa neljä taikaneliön ruutua on esitetty kahden tuntemattoman luvun x ja y avulla. Kun luvut x ja y asetetaan peräkkäin, saadaan tuloksena teoksen valmistumisvuosi. Ratkaise luvut x ja y ja kirjoita kyseessä oleva vuosiluku.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 16 & 3 & 2 & 13\\ \hline 5 & 10 & 11 & 8\\ \hline 9 & \frac{y-2}2 & \frac{x-1}2 & 12\\ \hline 4 & x & y & 1\\ \hline \end{array}

Erään raketin kärki, eli niin sanottu nokkakartio, saadaan, kun alaspäin aukeava paraabeli pyörähtää symmetria-akselinsa ympäri. Kärjen korkeus on 4,5 metriä, ja sen halkaisija pohjan tasolla on 3,3 metriä. Määritä kärjen tilavuus.

Tarkastellaan vektoreita \overline{u}=\overline{i}+2 \,\overline{j} ja \overline{v} = \sin(2t)\overline{i} + \cos(4t) \overline{j}, missä t \ge 0.

1. Määritä vektori \overline{u}+\overline{v}, kun t=0, t=\frac\pi 4 ja t=\frac{3\pi}4. (4 p.)

2. Mikä tasokuvio muodostuu vektorin \overline{u}+\overline{v} kärkipisteestä, kun t saa arvot välillä [0, \pi]? Anna vastaus yhtälönä muodossa y=f(x). Ratkaisussa voi käyttää esimerkiksi kaavaa \cos (2x)=1-2\sin^2 x. (8 p.)

1. Osoita induktiolla, että k^3\ge k^2+4 kaikilla kokonaisluvuilla k\ge 2. (6 p.)

2. Osoita, että osatehtävän 8.1 epäyhtälö ei päde millään kokonaisluvulla k<0. (2 p.)

3. Osoita, että epäyhtälö x^3\ge x^2+4 pätee kaikilla reaaliluvuilla x\ge 2. (4 p.)

Tekstissä 9.A on esitetty pseudokoodilla kirjoitettu algoritmi.

1. Minkä tuloksen algoritmi antaa, kun a=0, b=1 ja n=5? (2 p.)

2. Tee taulukkolaskenta- tai ohjelmointitoteutus algoritmille, kun a=-1, b=2 ja n=1000. Minkä tuloksen se tässä tapauksessa antaa? (4 p.)

3. Mitä integraalia algoritmi approksimoi? Selitä muuttujien a, b, n, h, r, k ja f roolit algoritmissa. (6 p.)

Positroniemissiotomografia (PET) on lääketieteellinen kuvantamismenetelmä, jonka avulla voidaan mallintaa sisäelinten toimintaa. PET-kuvan avulla on mahdollista muodostaa aika-aktiivisuuskäyrä, joka on muotoa f(t)=g(t)+u e^{v-(t-w)^2}, missä u, v, w>0 ja

g(t)= \begin{cases} 0, &\text{kun } t<0,\\ a_1t+b_1, &\text{kun } 0\le t<w,\\ a_2t+b_2, &\text{kun } t\ge w. \end{cases}

1. Taulukko 10.A sisältää erään PET-kuvan mittausarvot ajan funktiona. Mittaus voidaan mallintaa funktion f avulla, kun u=\frac15, v=3, w=2, a_1=\frac54, b_1=0, a_2=-\frac14 ja b_2=3. Piirrä funktion f kuvaaja ja mittausarvot koordinaatistoon. (4 p.)

2. Miten parametrit u, v ja w vaikuttavat funktion kuvaajaan? (4 p.)

3. Mitkä ehdot parametrien w, a_1, b_1, a_2 ja b_2 tulee toteuttaa, jotta funktio f on jatkuva? (4 p.)

1. Eeri haluaa valita kahdesta nopasta paremman. Hän heittää niitä kerran ja valitsee nopan, joka antaa suuremman tuloksen. Jos kumpikin noppa antaa saman tuloksen, hän valitsee toisen nopista. Kummassakin tapauksessa Eeri heittää valitsemaansa noppaa uudestaan. Millä todennäköisyydellä nopan tulos toisella heitolla on pienempi kuin ensimmäisellä heitolla? (9 p.)

2. Laajasti levinneen uutisen mukaan maailman kymmenen rikkaimman ihmisen omaisuus kaksinkertaistui koronapandemian kahden ensimmäisen vuoden aikana. Väite perustui ilmeisesti siihen, että ajanjakson lopulla oli laskettu kymmenen rikkaimman ihmisen omaisuuden arvo ja verrattu sitä heidän omaisuuteensa kaksi vuotta aikaisemmin. Tähän sisältyy ajatusvirhe, joka tulee esiin myös Eerin nopanheitossa. Mikä se on? (3 p.)

Anna esimerkki polynomista P(x), joka toteuttaa seuraavat ehdot:

Yhtälöllä P(x)=1 on täsmälleen kaksi erisuurta ratkaisua, ja yhtälöllä P(x)=-1 on ainakin neljä erisuurta ratkaisua.

Täysien pisteiden arvoinen ratkaisu sisältää laskut, joista voidaan nähdä, että esimerkki toteuttaa vaaditut ehdot. Graafinen perustelu tai yhtälön ratkaisukäskyn käyttö eivät yksinään riitä täysiin pisteisiin.

Olkoon \displaystyle f(x,s)=\frac{1-s}{(1+x^2-2sx)^2}, kun 0<s<1 ja 0\le x\le 1. Tarkastellaan vasemmanpuoleista raja-arvoa \displaystyle\lim_{s\to 1}, jota joskus merkitään \displaystyle\lim_{s\to 1^-}.

1. Määritä \displaystyle g(x)=\lim_{s\to 1} f(x,s) kaikilla 0\le x<1, ja laske \displaystyle \int_0^1 g(x)\, dx. (3 p.)

2. Määritä sellainen x_0<1, että f(x_0, s) = f(1, s), ja laske \displaystyle \int_{x_0}^1 f(x_0,s)\, dx. (3 p.)

3. Osoita, että f(x, s) \ge f(x_0, s), kun x\in [x_0, 1] ja x_0 on määritetty osatehtävässä 13.2. (3 p.)

4. Osoita, että \displaystyle \int_0^1 \lim_{s\to 1} f(x,s)\, dx \ne \lim_{s\to 1} \int_0^1 f(x,s)\, dx. (3 p.)