FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä
23.3.2022
Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.
A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.
Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.
Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.
A-osa
Vastaa neljään tehtävään.1. Perustehtäviä 12 p.
Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.
Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin.
1.1 Polynomin p(x)=x^2-6x suurempi nollakohta on 2 p.
x =
1.2 Funktion f(x)=x^3-x^2+1 arvo kohdassa x=2 on 2 p.
f(2)=
1.3 Funktion f(x)=x^3-x^2+1 derivaatan arvo kohdassa x=2 on 2 p.
f'(2)=
1.4 Yhtälön 5^{k-5}=25 ratkaisu on 2 p.
k=
1.5 Funktion \displaystyle{f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}} raja-arvo kohdassa x=4 on 2 p.
\displaystyle{\lim_{x\to 4} f(x) =}
1.6 Määritä lausekkeen x^3+1 arvo, kun x^2+1=26 ja x<0. 2 p.
x^3+1=
2. Useita ratkaisutapoja 12 p.
Yhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein osittelulakia eli kerrotaan sulkeet auki tai otetaan yhteinen tekijä;
4(x+1)=4x+4
on esimerkki sulkeiden auki kertomisesta ja
4x+4=4(x+1)
on esimerkki yhteisen tekijän ottamisesta.
Ratkaise yhtälö
(2x+1)(x-6)=0
ja yhtälö
(2y+1)(y-6)=-6
eri tavoilla niin, että toinen yhtälö ratkaistaan kertomalla sulkeet auki ja toinen niin, että sulkeita ei kerrota auki. (6 p.)
Ratkaise yhtälö
5(7x-2)+7(7x-2)=12
ja yhtälö
5(7y-2)+7(7y+2)=12
eri tavoilla niin, että toinen yhtälö ratkaistaan kertomalla sulkeet auki ja toinen niin, että sulkeita ei kerrota auki. (6 p.)
3. abBA-tehtävä 12 p.
Sievennä lauseke (a^2+\sqrt{2}\,ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}\,ab+b^2). (6 p.)
Funktiosta
f(x)=Ae^{2x}+B\cos (3x)
tiedetään, että f(0)=4 ja f'(0)=5. Määritä vakioiden A ja B arvot. (6 p.)
4. Polynomit 12 p.
Polynomien f(x)=(x-2)(x+2)(x-1) ja g(x)=-2(x-2)(x+2)(x+1) kuvaajat leikkaavat toisensa kolmessa pisteessä (2, 0), (-2, 0) ja (x_0, y_0), missä -2<x_0<0.
Määritä leikkauspiste (x_0, y_0). (4 p.)
Laske polynomien kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala välillä [0, 2]. (8 p.)
Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.
B1-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.5. Monivalinnat 12 p.
Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
5.1 Kaikissa suunnikkaissa lävistäjät 1 p.
5.2 Kuutiossa on 1 p.
5.3 Suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä, on ympyrän 1 p.
5.4 Paraabeli muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä suorasta ja paraabelin 1 p.
5.5 Kun vektori, joka ei ole nollavektori, kerrotaan pituutensa käänteisluvulla, saadaan vektorin 1 p.
5.6 Avaruuden kolme eri pistettä ei koskaan määrää yksikäsitteistä 1 p.
5.7 Kun a ja b ovat reaalilukuja, niin epäyhtälö a<b toteutuu täsmälleen silloin, kun 2 p.
5.8 Polynomi (x^2+5x+1)(x+3) derivoidaan. Mikä on derivaatan arvo pisteessä 0? 2 p.
5.9 Tiedetään, että x^x=100. Mitä voidaan sanoa luvusta x ? 2 p.
6. Ympyrä kohtaa paraabelin 12 p.
Tämän tehtävän voi ratkaista likimääräisesti ohjelmistolla. Tällöin perusteluiksi riittävät kuvakaappaukset tai selitykset, joista ilmenee, mitä on tehty. Tehtävän voi myös ratkaista algebrallisesti laskemalla.
Olkoon r>0. Paraabeli y=x^2 ja ympyrä x^2+(y-2)^2=r^2 sivuavat toisiaan kahdessa pisteessä. Määritä paraabelin ja ympyrän väliin jäävän alueen pinta-ala. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
7. Makeismatematiikkaa 12 p.
Makeispussissa on 22 salmiakkimakeista ja 19 hedelmämakeista. Eeri ottaa pussista kolme makeista. Millä todennäköisyydellä kaikki kolme ovat hedelmämakeisia? (6 p.)
Kaikki Eerin ottamat makeiset olivat hedelmämakeisia, jolloin makeispussissa on jäljellä 22 salmiakkimakeista ja 16 hedelmämakeista. Kuura ottaa nyt pussista viisi makeista. Millä todennäköisyydellä näiden viiden makeisen joukossa on vähintään yksi salmiakkimakeinen ja vähintään yksi hedelmämakeinen? (6 p.)
8. Jatkuva mutta ei derivoituva funktio 12 p.
Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f\colon\mathbf R\to \mathbf R, joka ei ole derivoituva kohdassa x=1. Perustele erotusosamäärän
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
avulla, miksi funktio ei ole derivoituva kohdassa x=1. Perustele lisäksi funktion jatkuvuus.
9. Ympyrä ja numeeriset menetelmät 12 p.
Tarkastellaan yksikköympyrän ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa osaa, eli ehtojen 0\le x\le 1 ja 0\le y \le \sqrt{1-x^2} määräämää aluetta B. Arvioidaan alueen B pinta-alaa puolisuunnikassäännöllä ja keskipistesäännöllä. Keskipistesääntö tarkoittaa suorakaidesääntöä, jossa suorakaiteen korkeus määräytyy osavälin keskipisteen mukaan.
Valitse kolme seuraavista väitteistä, ja selvitä, ovatko ne tosia vai epätosia:
Väite 1. Keskipistesäännöllä voidaan saada arvio, joka on suurempi kuin alueen B todellinen pinta-ala.
Väite 2. Keskipistesäännöllä voidaan saada arvio, joka on pienempi kuin alueen B todellinen pinta-ala.
Väite 3. Puolisuunnikassäännöllä voidaan saada arvio, joka on suurempi kuin alueen B todellinen pinta-ala.
Väite 4. Puolisuunnikassäännöllä voidaan saada arvio, joka on pienempi kuin alueen B todellinen pinta-ala.
Muista myös perustella vastauksesi.
B2-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.10. Veistos 12 p.
Puistossa sijaitseva veistos on rakennettu käyttäen rautatankoja geometristen muotojen särminä kuvan 10.A mukaisesti. Veistoksen yläosa on pyramidi ja alaosa on suorakulmainen särmiö, jonka pohja on neliön muotoinen. Tiedekeskuksen pihalle on tarkoitus rakentaa vaakasuoralle alustalle samanmallinen veistos, jossa särmiön kehikkoon kuuluu myös pohjaneliön sivutangot (kuvassa pohjaneliö ei ole näkyvissä). Uuden rakennelman pitää toteuttaa seuraavat ehdot: rakennelman sisätilavuus on 21 kuutiometriä ja yläosan (pyramidin) korkeus on puolet alaosan korkeudesta. Mikä on tähän rakennelmaan tarvittavan rautatangon pienin mahdollinen kokonaispituus L?
Tehtävässä oletetaan, että rautatangon koko pituus L voidaan käyttää rakennelmaan. Liitoksiin käytettävää materiaalia ei tarvitse ottaa huomioon. Anna vastaus metreinä kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
11. Mitkä vektorit? 12 p.
Tason vektorit \overline{a} ja \overline{b} toteuttavat yhtälöparin
\begin{cases}(\overline{a} + \overline{b}) \cdot (\overline{a} - \overline{b}) = 2\\ 2\, \overline{a} \cdot \overline{a} + 3\, \overline{b} \cdot \overline{b} = 5. \end{cases}
Määritä vektorien \overline{a} ja \overline{b} pituudet. (5 p.)
Osatehtävän 1 vektorit \overline{a} ja \overline{b} toteuttavat lisäksi yhtälöparin
\begin{cases}\overline{a} \cdot \overline{b} = \dfrac{\sqrt{11}}{10} \\ \overline{b} \cdot (\sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j}) = \dfrac1{\sqrt{5}}\, . \end{cases}
Merkitään vektorien \overline{a} ja \overline{b} välistä kulmaa symbolilla \varphi ja vektorien \sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j} ja \overline{b} välistä kulmaa symbolilla \theta. Määritä kulmien \varphi ja \theta suuruudet. (5 p.)
Määritä kaikki mahdolliset vektorit \overline{a}, jotka toteuttavat osatehtävien 1 ja 2 ehdot, kun \overline{b}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\overline{j}. (2 p.)
12. Pascalin kolmio 12 p.
Pascalin kolmion sisällä jokainen luku saadaan laskemalla yhteen kaksi sen yläpuolella olevaa lukua (ks. animaatio 12.A). Jokaisen rivin reunimmaiset luvut ovat ykkösiä.
Rivillä n kohdassa k olevalle luvulle käytetään merkintää p_{n,k}. Pascalin kolmion luvut määritellään rekursiivisesti asettamalla p_{n,0}=p_{n,n}=1 kaikilla n\ge 0 ja
p_{n,k}=p_{n-1,k}+p_{n-1,k-1},
kun n\ge 2 ja 0<k<n. Huomaa, että indeksien n ja k numerointi alkaa nollasta.
Osoita induktiolla, että Pascalin kolmion rivillä n olevien lukujen summa on 2^n, eli
\sum_{k=0}^n p_{n,k} = 2^n.
13. Korkea-asteinen polynomi 12 p.
Tarkastellaan polynomia
P(x)=x^{2n+1}-(x-n)(x-n+1)\cdots (x+n-1)(x+n),
missä n>0 on kokonaisluku ja x on reaaliluku.
Osoita, että polynomilla P(x)
on ainakin yksi nollakohta (4 p.)
on korkeintaan 2n-1 nollakohtaa (4 p.)
ei ole nollakohtaa x_0\geq n. (4 p.)
Kokeen tehtävät loppuvat tähän.
Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.