FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

21.9.2021

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa neljään tehtävään.

1. Lausekkeita ja yhtälöitä 12 p.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

1.1 Mikä on lausekkeen 2 x +8 arvo, kun x =-3? 3 p.

 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910

1.2 Aritmeettisen lukujonon (a_n yleinen termi on a_n =3 n +9 n =1, 2, 3, … Mikä on indeksin n pienin arvo, jota vastaava termi a_n on suurempi kuin 100? 3 p.

 n =10n =11n =30n =31n =100n =101 ei mikään näistä vaihtoehdoista

1.3 Yhtälö x^2 -4 x =0 toteutuu 3 p.

  vain arvolla x =4 vain arvolla x =0 vain arvolla x =-4 arvoilla x =0 ja x =4 arvoilla x =0 ja x =-4 arvoilla x =-4 ja x =4.

1.4 Yhtälöparilla 3 p.

{x +2 y =10, 2 x -y =10}

 ei ole ratkaisuaon täsmälleen yksi ratkaisuon äärettömän monta ratkaisuaei mikään näistä vaihtoehdoista toteudu.

2. Pituuksia ja pinta-aloja 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta kohdasta voi saada 3 pistettä.

2.1 Suorakulmion lävistäjän pituus on 5,0 cm ja lyhyemmän sivun pituus 2,0 cm. Määritä suorakulmion pidemmän sivun pituus millimetrin tarkkuudella. 3 p.

Vastaus: mm

2.2 Suorakulmion yhden sivun pituus on 5,0 cm, ja se muodostaa 35^@ kulman suorakulmion lävistäjän kanssa. Laske suorakulmion piiri millimetrin tarkkuudella. 3 p.

Vastaus: mm

2.3 Vinoneliö (eli neljäkäs) on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Vinoneliön lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan ja niiden pituudet ovat 2,0 cm ja 5,0 cm. Määritä vinoneliön pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. 3 p.

Vastaus: cm^2

2.4 Ympyräsektorin säde on 3,00 cm ja keskuskulma 26,0^@. Määritä sektorin pinta-ala 0,01 cm^2:n tarkkuudella. 3 p.

Vastaus: cm^2

3. Kukkaruukku 12 p.

Aineisto
  1. Kuva: Kukkaruukun poikkileikkaus

Kukkaruukun pystysuora poikkileikkaus ja sisämitat on esitetty kuvassa 3.A. Kukkaruukun alaosa on suora katkaistu ympyräpohjainen kartio. Kukkaruukun pohjan halkaisija on 30 cm. Kukkaruukun alaosa levenee, kunnes se yhtyy kukkaruukun yläosaan, joka on suora ympyräpohjainen lieriö, jonka halkaisija on 40 cm. Kukkaruukun alaosan korkeus on 20 cm ja yläosan korkeus 15 cm. Laske kukkaruukun tilavuus.
 

4. Lukujono 12 p.

Rekursiivinen lukujono (a_n) on määritelty seuraavalla tavalla: a_1 =3, ja a_(n +1) =2 a_n -1, kun n >= 1.

  1. Laske a_2, a_3 ja a_4. (4 p.)
  2. Miksi lukujono (a_n) ei ole aritmeettinen eikä geometrinen? Voit käyttää perusteluissa esimerkiksi kohdassa 4.1 laskettuja lukuja. (8 p.)
 

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

5. Hampaiden harjaajat 12 p.

Hammaslääkäriliiton suositusten mukaan hampaita on harjattava kahdesti päivässä kaksi minuuttia kerrallaan. Lisäksi aikuisten tulee huolehtia lasten hampaiden harjaamisesta. Virtasen perheessä on neljä lasta, isä ja äiti. Hampaiden harjausvastuu on jaettu tasan molempien vanhempien kesken, eli kumpikin vanhempi harjaa omat sekä kahden lapsen hampaat. Kuinka monta tuntia vuodessa perheen isä viettää hampaita harjaten?

 

6. Esteratsastus 12 p.

Esteratsastus on kehittynyt hevosten suorituskyvyn parantuessa, ja hevosten suoriutumista on myös tutkittu kokeellisesti. On selvinnyt, että parhaimman ponnistuskohdan ja esteen välinen etäisyys d saadaan kertomalla esteen korkeus h luvulla 1,3 ja lisäämällä tulokseen 20 cm.

  1. Mikä on etäisyys d, kun esteen korkeus on 140 cm? (3 p.)
  2. Kuinka korkean esteen hevonen ja ratsastaja yrittävät ylittää, jos hevosen ponnistuskohdan etäisyys esteeseen on 215 cm? (3 p.)
  3. Määritä etäisyyden d lauseke esteen korkeuden h funktiona. (3 p.)
  4. Määritä esteen korkeuden h lauseke etäisyyden d funktiona. (3 p.)
 

7. Kananmunien hintamuutos 12 p.

Kananmunien kilohinta kaupassa on 3,50 euroa ilman arvonlisäveroa. Hinnasta 35 % saa alkutuotanto, 25 % pakkaamo ja 40 % kauppa. Kauppa alentaa kananmunien hintaa 10 %. Kuinka monta prosenttia kunkin toimijan saama korvaus laskee, jos euromääräinen hinnanalennus jaetaan tasan kaikkien kolmen toimijan kesken?
 

8. Huippuparaabeli 12 p.

Millä parametrien b ja c arvoilla paraabelin y =-x^2 +b x +c huippu on pisteessä (2,1)? Perustele vastauksesi derivaatan avulla.
 

9. Noppatilastoja 12 p.

Aineisto
  1. Taulukko: Noppatilasto

Tämä tehtävä on tarkoitettu ohjelmistolla ratkaistavaksi. Vastaukset voi antaa likiarvoina, ja perusteluiksi riittävät kuvakaappaukset tai selitykset, joista ilmenee, mitä on tehty.

Opiskelijat yrittivät selvittää, minkälaisen jakauman viiden nopan silmäluvun summa toteuttaa. He heittivät 100 kertaa viittä noppaa ja kirjasivat tulokset, ks. taulukko 9.A. Laskemalla jokaisen heittokerran viiden nopan silmäluvut yhteen saadaan summamuuttuja.

  1. Määritä tämän summamuuttujan minimi, maksimi, moodi, mediaani, keskiarvo ja keskihajonta. (6 p.)
  2. Piirrä tämän summamuuttujan jakauman pylväskaavio. (3 p.)
  3. Muistuttaako jakauma enemmän normaalijakaumaa vai tasaista jakaumaa? (3 p.)
 

B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

10. Kasvihuonekaasujen vähentäminen 12 p.

Aineisto
  1. Teksti: Ehdotus Euroopan parlamentin ja neuvoston direktiiviksi [...]

Teksti 10.A käsittelee EU:n pyrkimyksiä vähentää kasvihuonekaasupäästöjä EU:n alueella. Jotta pitkän aikavälin tavoitteet saavutetaan, EU suunnitteli kiristävänsä rajoituksia aikavälille 2021–2030 tekstin kuvailemalla tavalla.

  1. Laadi indeksisarja kasvihuonekaasupäästöjen enimmäismäärästä uuden päästörajan mukaisesti ja käytä indeksivuotena vuotta 2021. Vuoden 2021 indeksin arvo on siis 100. (4 p.)
  2. Kuinka monta prosenttia kokonaispäästötavoite vähenee uuden päästörajan vaikutuksesta kymmenen vuoden ajanjakson 2021–2030 aikana? (4 p.)
  3. Kuinka monta prosenttia pienempi on päästötavoite vuonna 2030 uuden päästörajan vuoksi verrattuna siihen, että raja olisi säilytetty ennallaan? (4 p.)
 

11. Viiden luvun mediaani 12 p.

Lukujen

x+1,\quad 2x+5,\quad 3x-2,\quad 4x+1\quad\text{ja}\quad 5x^2

keskiarvo on 1.
Määritä näiden lukujen mediaanin kaikki mahdolliset arvot.

 

12. Tornin rakentaminen 12 p.

Linnaan rakennetaan katkaistun pyramidin muotoista tornia. Tornin korkeudeksi on suunniteltu 10 metriä ja seinän leveydeksi tornin huipulla 80 % leveydestä tornin juurella. Saatavilla oleva rakennusmateriaali rajoittaa tornin seinien pinta-alan 120 neliömetriin. Laske seinän leveys tornin juurella.

 

13. Noppapeli 12 p.

Eräässä pelissä aloittava pelaaja A heittää tavallista noppaa. Mikäli hänen tuloksensa on 1 tai 2, hän voittaa pelin. Muussa tapauksessa pelaaja B heittää samaa noppaa. Mikäli hänen tuloksensa on 1, 2 tai 3, hän voittaa. Muussa tapauksessa peli päätyy tasapeliin, eikä kumpikaan voita. Laske pelaajien A ja B todennäköisyydet voittaa peli.

 

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.