FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jalkapallokentän maalin leveys on 7,32 metriä. Kohtisuoraan 11,0 metrin päässä maaliviivan keskipisteestä sijaitsee rangaistuspotkupiste (aineisto 2.A). Kuinka suuressa kulmassa maali näkyy rangaistuspotkupisteeltä katsottuna? Kulma mitataan kentän pintaa pitkin. Anna vastaus asteen tarkkuudella.

Matematiikan sovelluksissa käytetään erilaisia kaavoja. Tässä tehtävänä on joko ratkaista kysytty suure kaavasta (kohdat 1–4) tai laskea sen lukuarvo (kohdat 5 ja 6). Jokaisesta osatehtävästä voi saada 2 pistettä.

1. Ratkaise aika $t$: $$$v=v_0+at.$
2. Ratkaise moolimassa $M$: $$$n=\frac{m}{M}.$
3. Ratkaise nopeus $v$: $$ $E=\frac{1}{2}m{v}^2.$
4. Ratkaise kateetin pituus $a$: $$ $a^2+b^2=c^2.$
5. Laske säde $r$: $$ $V=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^3}{3}$, kun $V=2.$
6. Laske aika $t$: $$$K=k(1+\frac{p}{100}{)}^t$, kun $K=1000$, $k=500$ ja $p=2.$

Kuvaan 4.A on piirretty kuusi suoraa ja kolme pistettä. Alla on kuuden suoran yhtälöt. Valitse kunkin yhtälön kohdalta, esittääkö se kuvassa näkyvää pisteen $A$, $B$ tai $C$ kautta kulkevaa suoraa vai ei. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Maaotteluun on ostettu 4 802 lippua. Pääkatsomon lippu maksaa 35 euroa ja ylä- ja sivukatsomoiden liput 25 euroa. Ottelun lipputuloja kertyi yhteensä 136 900 euroa. Kuinka moni katsojista istui pääkatsomossa?

Autojen hiilidioksidipäästöt ilmoitetaan yksikkönä grammaa/kilometri. EU on päättänyt uusien autojen päästörajoista vuoteen 2030 saakka:

Vuosi	Päästöraja
2015	130 g/km
2020	95 g/km
2025	15 % alempi kuin vuonna 2020
2030	37,5 % alempi kuin vuonna 2020

1. Kuinka monta prosenttia pienempi on päästöraja vuonna 2020 vuoteen 2015 verrattuna? Anna vastaus 0,1 prosenttiyksikön tarkkuudella. (4 p.)
2. Kuinka monta prosenttia pienempi on tavoiteltu päästöraja vuonna 2030 vuoteen 2025 verrattuna? Anna vastaus 0,1 prosenttiyksikön tarkkuudella. (4 p.)
3. Muodosta laskentaohjelmaa käyttämällä vuosien 2015, 2020, 2025 ja 2030 päästörajoja havainnollistava pylväsdiagrammi. (4 p.)

Kenossa arvotaan kaksikymmentä (20) numeroa seitsemästäkymmenestä (70) numerosta. Pelin tasolla 4 valitaan neljä numeroa näistä seitsemästäkymmenestä. Näin muodostuu 916 895 eri riviä. Tulos "3 oikein" tarkoittaa, että valituista numeroista täsmälleen 3 kuuluu arvottujen kahdenkymmenen numeron joukkoon jne. Voittosumma saadaan kertomalla valittu panos tuloksen kertoimella (aineisto 7.A).

1. Mikä on pelirivin todennäköisin tulos? Entä mikä on epätodennäköisin tulos? (2 p.)
2. Matti pelaa yhden pelirivin ja hänen panoksensa on 3 euroa. Hän saa tuloksen 4 oikein. Kuinka paljon hän voittaa? (2 p.)
3. Matti pelaa kaksi peliriviä. Mikä on todennäköisyys, että toisella pelirivillä on neljä oikein ja toisella ei yhtään oikein? (4 p.)
4. Miten "4 oikein" -rivien lukumäärä 4 845 lasketaan? (4 p.)

Neliön muotoisen pahvilevyn sivun pituus on 1,0 m. Sen jokaisesta kulmasta leikataan pois pienempi neliö, jonka sivun pituus on $x$ (aineisto 8.A). Tämän jälkeen kaikki neljä reunoille jäänyttä suorakulmion muotoista osaa taitetaan 90 astetta ylöspäin ja teipataan kiinni vierekkäisiin osiin niin, että syntyy suorakulmainen laatikko ilman kantta. Millä muuttujan $x$ arvolla tämän laatikon tilavuus on mahdollisimman suuri?

Taulukossa 9.A on luvun $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$ ensimmäiset 297 desimaalia, joista on muodostettu 99 lukua jakamalla ne kolmen numeron ryhmiin. Selvitä näin syntyneiden 99 luvun

1. vaihteluväli (2 p.)
2. moodi ja mediaani (3 p.)
3. keskiarvo ja keskihajonta. (3 p.)
4. Pohdi, vaikuttaako tämän aineiston perusteella siltä, että nämä 99 lukua ovat jakautuneet normaalijakauman mukaisesti. (4 p.)

Erään vanhan käsityksen mukaan koiran ikä kerrotaan luvulla 7, jotta saadaan kuva siitä, kuinka vanhaa ihmistä koira vastaa. Esimerkiksi vanhimmat ihmiset ovat yli 100-vuotiaita, mutta koirat elävät harvoin yli 20-vuotiaiksi. Viime aikoina on esitetty muitakin tapoja tulkita koiran ikää. Tarkastellaan seuraavaa mallia, joka perustuu logaritmiin.

Jos koiran todellinen ikä on $t$ (vuotta), niin 10-kantaisen logaritmin avulla lausekkeella $37\lg <!--\; \; -->t+31$ voidaan laskea vastaava ihmisikä.

1. Koiran todellinen ikä on 2 vuotta. Mitä ihmisikää se vastaa tämän mallin mukaan? (3 p.)
2. Koiran ikää vastaava ihmisikä mallin mukaan on 25 vuotta. Mikä on koiran todellinen ikä? (3 p.)
3. Arvioi, kuinka hyvin malli toimii alhaisen ja korkean iän kohdalla. (6 p.)

Kirjaviisauteen kyllästynyt dosentti aikoo myydä kaikki kirjansa antikvariaattiin. Tarjouspyyntöä varten hän arvioi kirjojen lukumäärää.

1. Kolmella umpimähkäisellä mittauksella hän saa seuraavat tulokset:
   Mittaus 1: 25 kirjaa yhteensä 65,0 cm
   Mittaus 2: 28 kirjaa yhteensä 76,0 cm
   Mittaus 3: 14 kirjaa yhteensä 30,0 cm

   Missä näistä kolmesta mittauksesta on keskimäärin paksuimmat kirjat? (3 p.)

2. Kirjoja on yhteensä 38,07 hyllymetriä. Dosentti arvioi kirjojen kokonaismäärää kohdan 1 kolmen mittauksen perusteella. Hänellä on mielessään kaksi menetelmää:
   

   Menetelmä 1: Jaan pituuden 38,07 kohdassa 1 laskettujen keskiarvojen keskiarvolla.

   Menetelmä 2: Lasken kolmen mittauksen kirjamäärät ja yhteispaksuuden ja saan näin arvion keskimääräisen kirjan paksuudesta. Jaan pituuden 38,07 tällä luvulla.

   Laske kummankin menetelmän mukainen arvio kirjojen kokonaismäärälle ja arvioi, kumpi menetelmä on parempi. (9 p.)

Jessi on ostamassa asuntoa ja on löytänyt kaksi vaihtoehtoa, jotka ovat hänen mielestään yhtä mukavia. Hän valitsee asunnon taloudellisin perustein. Asuntojen tiedot ovat seuraavat:

Asunto 1: 2 h + k, 47 m${}^2$, myyntihinta 89 000 €, yhtiövastike 220 €/kk

Asunto 2: 1 h + avok. + s, 42 m${}^2$, myyntihinta 96 000 €, yhtiövastike 147 €/kk

1. Laske asuntojen neliöhinnat. (2 p.)
2. Jessillä on 19 000 euroa säästöjä. Hän aikoo maksaa loppuosan asunnon hinnasta ottamalla kymmenen vuoden tasaerälainan, jonka vuosikorko on 2,4 %. Kuinka paljon rahaa Jessiltä kuluu kymmenen vuoden aikana korkoihin ja vastikkeisiin näissä kahdessa eri asuntovaihtoehdossa? Lainaa lyhennetään kuukausittain. (7 p.)
3. Kuvaile sanallisesti, mitä muita seikkoja kannattaa ottaa huomioon, jos halutaan tarkemmin arvioida näiden kahden asuntovaihtoehdon kokonaisedullisuutta. (3 p.)

Tutkitaan funktioiden

$f(x)=7x^4-<!--\; -\; -->8x^3-<!--\; -\; -->7x^2+8x-<!--\; -\; -->1$
$g(x)=-<!--\; -\; -->4x^3+2x^2+6x+1$
$h(x)=\sqrt{4x+2}-<!--\; -\; -->1$
$p(x)=|x-<!--\; -\; -->3|$

kuvaajia. Voit vastata kysymyksiin 2–5 kuvaajien perusteella, mutta esitä myös lausekkeeseen perustuva perustelu sille, että ehto todella toteutuu.

1. Piirrä funktioiden kuvaajat koordinaatistoon. Valitse akselien mittakaavat sopiviksi. (2 p.)
2. Mikä kuvaajista leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,3)$? (2 p.)
3. Minkä funktion derivaatalla on nollakohta muuttujan arvolla $x\approx <!--\; \approx \; -->0,4$? (2 p.)
4. Mikä funktioista saa ainoastaan lukua 1 suurempia arvoja, kun $x>1$? (3 p.)
5. Mikä kuvaajista leikkaa $x$-akselin neljä kertaa? (3 p.)