FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Osatehtävissä 1.3.–1.6. vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastausten likiarvot kahden desimaalin tarkkuudella.

1. $x^2=7$   (3 p.)
2. $7x^5+2=-<!--\; -\; -->3x^5+4$    (3 p.)
3. $(3^x{)}^3\cdot <!--\; \cdot \; -->3^4=3^{11}$  (3 p.)
4. ${13}^x=147$   (3 p.)

1. Suoran $S_1$ yhtälö on $2x+5y=7$. Suora $S_2$ kulkee pisteiden $(-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1)$ ja $(2,5)$ kautta. Määritä suorien $S_1$ ja $S_2$ leikkauspiste. (6 p.)
2. Kolmion kärjet ovat pisteissä $(0,0)$, $(2,3)$ ja $(-<!--\; -\; -->1,4)$. Laske kolmion origossa oleva kulma asteen tarkkuudella ja tämän kulman vastaisen sivun pituuden tarkka arvo. (6 p.)

Ratkaise joko tehtävä 1. Veriryhmä TAI tehtävä 2. Suurin arvo.

1. Veriryhmä: Ihmisen veriryhmä on jokin tyypeistä A, B, AB tai O. Suomessa A:n osuus on 41 %, B:n 18 %, AB:n 8 % ja O:n 33 %. Millä todennäköisyydellä kahdella satunnaisesti valitulla henkilöllä on sama veriryhmä? (12 p.)
2. Suurin arvo: Määritä derivaattaa käyttämällä funktion $f(x)=\frac{4}{3}{x}^3-<!--\; -\; -->x+4$ suurin arvo välillä $0\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->1$. (12 p.)

Kirjoita tähän vastauskenttään joko tehtävän 1. Veriryhmä TAI tehtävän 2. Suurin arvo ratkaisu.

Hallitustenvälisen ilmastopaneelin (IPCC) vuoden 2019 raportissa hyödynnettiin maankäytön tilastoja vuodelta 2015 (aineisto 5. A). Niiden mukaan jäättömästä maanpinnasta on ihmisen käytössä 72 % ja loput 28 % on käyttämättä. Oletetaan, että maankäyttö muuttuu vuosien 2015 ja 2030 välillä seuraavilla tavoilla:

• Kasvispitoisempaan ruokavalioon siirtyminen vähentää laidunmaan pinta-alaa kymmenellä prosentilla. Tämä pinta-ala muuttuu viljelysmaaksi.
• Viisi prosenttia käyttämättömästä osasta otetaan käyttöön talousmetsänä.

Laske näiden oletusten perusteella eri maankäyttötapojen prosenttiosuudet vuonna 2030.

Joukko abiturientteja on ravintolassa syömässä ja laskun maksun yhteydessä päättää antaa tarjoilijalle juomarahaa 10 % laskun loppusummasta. Jos jokainen abiturientti maksaa 25 euroa, niin rahaa laskun maksuun on 3 euroa enemmän kuin laskun loppusumma, mutta raha ei riitä kattamaan 10 %:n juomarahaa. Jos jokainen abiturientti maksaa 27 euroa, niin laskun maksuun kerätty raha kattaa juomarahan ja tarjoilijalle jää vielä 80 senttiä ylimääräistä juomarahaa 10 % juomarahan lisäksi. Mikä on laskun loppusumma, ja kuinka monta abiturienttia joukossa on?

Hammastahnatuubissa on 90 ml tahnaa, ja sen pyöreän suuaukon halkaisija on 6 mm. Riittääkö yksi hammastahnatuubi nelihenkisessä perheessä kolmen kuukauden käyttöön, kun jokainen perheenjäsen pesee hampaansa aamulla ja illalla ja pursottaa 5 mm tahnaa hammasharjaansa jokaisella pesukerralla?

1. Säästötilin saldolle maksetaan vuosittain 2 % nettokorkoa, ja sen jälkeen tilille talletetaan 100 euroa. Tilin saldoa $a_n$ voidaan mallintaa rekursiokaavalla

   $$a_{n+1}=1,02a_n+100,n\ge <!--\; \ge \; -->1.$$
   Alkuarvona on $a_1=1000$. Laske $a_5$ eli saldo neljän vuoden jälkeen. (6 p.)
   
   

2. Tutkijat ovat mallintaneet korppipopulaation kokoa seuraavien rekursiokaavojen avulla:

   $$p_{n+1}=0,95p_n+0,02e_n,$$
   $$e_{n+1}=p_n+e_n(1-<!--\; -\; -->0,01e_n),$$
   missä $p_n$ on pesivien korppien lukumäärä ja $e_n$ on ei-pesivien korppien lukumäärä vuonna $n\ge <!--\; \ge \; -->1.$ Alkuarvot ovat $p_1=12$ ja $e_1=23$. Laske $p_2$ ja $e_3.$ (6 p.)

Taulukossa 9. A on merimetson pesien lukumäärä eri yhdyskunnissa vuonna 2019. Samassa kunnassa sijaitsevia yhdyskuntia on merkitty taulukossa numeroilla, esimerkiksi Kirkkonummi 1 ja Kirkkonummi 2.

1. Kuinka monta merimetson pesää oli aineiston mukaan olemassa vuonna 2019? (2 p.)
2. Selvitä, mikä yhdyskunnista oli pienin ja mikä suurin, sekä se, mikä oli samaan yhdyskuntaan kuuluvien pesien lukumäärän keskiarvo ja keskihajonta. (3 p.)
3. Aineisto luokitellaan keskihajonnan pituisiin luokkiin siten, että keskiarvo on yhtenä luokkarajana. Mihin luokkaan Kokkolan merimetsoyhdyskunta kuuluu? (3 p.)
4. Määritä luokitellun aineiston suhteelliset frekvenssit ja kuvaile sanallisesti luokiteltua jakaumaa. (4 p.)

Kun yksityishenkilö hakee asuntolainaa, haluaa pankki yleensä tehdä maksukykyisyystestin. Tavoitteena on varmistaa, että henkilö selviää tulevaisuudessa mahdollisesti kasvavista koroista. Annikalle myönnetään 100 000 euron laina 1,2 %:n vuosikorkokannalla. Pankki on tehnyt maksukykyisyystestin 6,0 %:n vuosikorkokannalla. Annuiteettilainan takaisinmaksuaika on 15 vuotta.

1. Kuinka paljon rahaa kuukaudessa Annikalla on oltava käytettävissä lainan takaisinmaksuun, jotta hän läpäisisi maksukykyisyystestin? (6 p.)
2. Tee taulukon 10. A mallin mukainen laskelma, josta näkyvät jäljellä oleva lainan määrä kuukausittain sekä ensimmäisen 12 kuukauden korot, lyhennykset ja annuiteetit. Laina nostetaan tänään, ja ensimmäinen lyhennys on kuukauden kuluttua. (6 p.)

Neliön kärjet ovat pisteissä $(0,0),(10,0),(10,10)$ ja $(0,10)$. Neliön sisältä valitaan piste $P$, joka yhdistetään janoilla jokaiseen neliön kärkeen. Näin muodostuu neljä kolmiota. Merkitään kolmioita ja niiden pinta-aloja kirjaimilla $A,B,C$ ja $D$.

1. Piirrä tilanteesta kuva. (3 p.)

2. Määritä pisteen $P$ koordinaattien tarkat arvot, kun $A$ on kuviossa vasemmalla, $B$ ylhäällä, $C$ alhaalla ja $D$ oikealla ja pinta-alojen suhteille pätee

   $$A:B:C:D=1:2:3:4.$$
   (9 p.)

Tutkitaan kolmannen asteen polynomifunktiota $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Funktion derivaatan merkkikaavio on seuraavanlainen:

Lisäksi tiedetään, että funktion $p(x)$ kuvaaja kulkee origon ja pisteiden $(-<!--\; -\; -->1,7)$ ja $(2,-<!--\; -\; -->20)$ kautta.

1. Millä muuttujan $x$ arvoilla $p^{\prime }(x)=0$? (2 p.)

2. Määritä funktio $p(x)$. (6 p.)

3. Määritä $p^{\prime }(x)$. (4 p.)